Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 12.4 Vectores tangentes y vectores normales 865
r(t) = (50 2t)i + (50 2t − 16t 2 )j
y
100
75
50
25
t = 0
t = 1
25 50 75
100 125
La trayectoria de un proyectil
Figura 12.27
25 2
t =
16
150
x
EJEMPLO 7
Movimiento de un proyectil
El vector posición para el proyectil mostrado en la figura 12.27 está dado por
rt 502 ti 502 t 16t 2 j.
Vector posición.
Hallar la componente tangencial de la aceleración cuando t 0, 1 y 25216.
Solución
vt 502 i 502 32tj
vt 250 2 16502t 16 2 t 2
at 32j
La componente tangencial de la aceleración es
a T t
vt at
vt
32502 32t
250 2 16502t 16 2 t 2 .
En los instantes especificados, se tiene
a T 0 32502
162 22.6
100
32502 32
a T 1
15.4
250 2 16502 16 2
a T 252 32502 502
16 0.
502
Vector velocidad.
Velocidad.
Vector aceleración.
Componente tangencial
de la aceleración.
En la figura 12.27 se puede ver que, a la altura máxima, cuando t 25216, la componente
tangencial es 0. Esto es razonable porque en ese punto la dirección del movimiento
es horizontal y la componente tangencial de la aceleración es igual a la componente horizontal
de la aceleración.
12.4 Ejercicios
En los ejercicios 1 a 4, dibujar el vector unitario tangente y los
vectores normales a los puntos dados.
En los ejercicios 5 a 10, hallar el vector unitario tangente a la
curva en el valor especificado del parámetro.
1. y
2.
x
y
x
5. rt t 2 i 2tj, t 1 6.
7. rt 4 cos ti 4 sen sin tj,
8. rt 6 cos ti 2 sen sin tj,
t
4
t
3
9. rt 3ti ln tj, t e
10. rt e t cos ti e t j, t 0
rt t 3 i 2t 2 j, t 1
3. y
4.
y
En los ejercicios 11 a 16, hallar el vector unitario tangente Tt y
hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas para la recta tangente
a la curva en el espacio en el punto P.
x
x
11. rt ti t 2 j tk, P0, 0, 0
12. rt t 2 i tj 4 3 k, P1, 1, 4 3
13. rt 3 cos ti 3 sen sin tj tk, P3, 0, 0
14. rt t, t,4 t 2 , P1, 1,3
15. rt 2 cos t, 2 sen sin t, 4, P2,2, 4
16. rt 2 sen sin t, 2 cos t, 4sen
sin 2 t, P1, 3, 1