Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 14.3 Cambio de variables: coordenadas polares 1005
π
2
(r i
, θ i )
β
α
R i
g 1
∆θi
∆r i
g 2
La red o cuadrícula polar se sobrepone
sobre la región R
Figura 14.26
0
Para definir una integral doble de una función continua z fx, y en coordenadas
polares, considerar una región R limitada o acotada por las gráficas de r g 1 y
r g 2 y las rectas y En lugar de hacer una partición de R en rectángulos
pequeños, se utiliza una partición en sectores polares pequeños. A R se le superpone una
red o cuadrícula polar formada por rayos o semirrectas radiales y arcos circulares, como
se muestra en la figura 14.26. Los sectores polares R i
que se encuentran completamente
dentro de R forman una partición polar interna , cuya norma es la longitud de la
diagonal más larga en los n sectores polares.
Considerar un sector polar específico R i , como se muestra en la figura 14.27. Se puede
mostrar (ver ejercicio 75) que el área de R i es
A i r i r i i
Área de .
donde r i r y i 2 1. Esto implica que el volumen del sólido de altura
fr i cos i , r i sin 2 r 1
seni
sobre es aproximadamente
fr i cos i , r i sen sin ir i r i i
y se tiene
R fx, y dA n
i1
R i
.
R i
fr i cos i , r isen
sin ir i r i i .
La suma de la derecha se puede interpretar como una suma de Riemann para f(r cos ,
r sen )r. La región R corresponde a una región S horizontalmente simple en el plano r,
como se muestra en la figura 14.28. Los sectores polares R i corresponden a los rectángulos
S y el área de S es r i i .
i , A i i Por tanto, el lado derecho de la ecuación corresponde
a la integral doble
S fr cos , r sen sin r dA.
A partir de esto, se puede aplicar el teorema 14.2 para escribir
R fx, y dA S fr cos , rsen
sin r dA
g
2
sen
a g 1
fr cos , r sin r dr d.
Esto sugiere el teorema siguiente, cuya demostración se verá en la sección 14.8.
π
2
θ 2
θ 1
β
θ
r = g 1
( θ)
r = g 2
( θ)
R i
r 1
r 2
S i
(r i
,
i ) 0
θ
α
(r i
, θi )
r
El sector polar es el conjunto de todos los
puntos r, tal que r 1 ≤ r ≤ r 2 y
1 ≤ ≤ 2.
Figura 14.27
R i
Región S horizontalmente simple
Figura 14.28