Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

888 CAPÍTULO 13 Funciones de varias variables
Gráfica de una función de dos variables
Figura 13.2
Como en el caso de las funciones de una sola variable, se puede saber mucho acerca del
comportamiento de una función de dos variables dibujando su gráfica. La gráfica de una
función f de dos variables es el conjunto de todos los puntos x, y, z para los que
z f x, y y x, y está en el dominio de f. Esta gráfica puede interpretarse geométricamente
como una superficie en el espacio, como se explicó en las secciones 11.5 y 11.6.
En la figura 13.2 hay que observar que la gráfica de z f x, y es una superficie cuya
proyección sobre el plano xy es D, el dominio de f. A cada punto (x, y) en D corresponde
un punto (x, y, z) de la superficie y, viceversa, a cada punto (x, y, z) de la superficie le corresponde
un punto (x, y) en D.
EJEMPLO 2
Descripción de la gráfica de una función
de dos variables
¿Cuál es el rango de f x, y 16 4x 2 y 2 ? Describir la gráfica de f.
Solución El dominio D dado por la ecuación de f es el conjunto de todos los puntos
(x, y) tales que 16 4x 2 y 2 ≥ 0. Por tanto, D es el conjunto de todos los puntos que
pertenecen o son interiores a la elipse dada por
x 2
4 y2
16 1.
Elipse en el plano xy.
El rango de f está formado por todos los valores z f x, y tales que 0 ≤ z ≤ 16 o sea
0 ≤ z ≤ 4.
Rango de f.
Un punto (x, y, z) está en la gráfica de f si y sólo si
La gráfica de f x, y 16 4x 2 y 2
es la mitad superior de un elipsoide
Figura 13.3
z
z = 16 − 4x 2 − y 2
4 x 2 y 2 z 2 16
z 16 4x 2 y 2
z 2 16 4x 2 y 2
x 2
4 y2
16 z2
1, 0 ≤ z ≤ 4.
16
De acuerdo con la sección 11.6, se sabe que la gráfica de f es la mitad superior de un elipsoide,
como se muestra en la figura 13.3.
x
Figura 13.4
y
Para dibujar a mano una superficie en el espacio, es útil usar trazas en planos paralelos
a los planos coordenados, como se muestra en la figura 13.3. Por ejemplo, para hallar
la traza de la superficie en el plano z 2, se sustituye z 2 en la ecuación
z 16 4x 2 y 2 y se obtiene
2 16 4x2 y 2
x 2
3 y2
12 1.
Por tanto, la traza es una elipse centrada en el punto (0, 0, 2) con ejes mayor y menor de
longitudes 43 y 23.
Las trazas también se usan en la mayor parte de las herramientas de graficación tridimensionales.
Por ejemplo, la figura 13.4 muestra una versión generada por computadora
de la superficie dada en el ejemplo 2. En esta gráfica la herramienta de graficación tomó
25 trazas paralelas al plano xy y 12 trazas en planos verticales.
Si se dispone de una herramienta de graficación tridimensional, utilícese para representar
varias superficies.