Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

740 CAPÍTULO 10 Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
740 Chapter 10 Conics, Parametric Equations, and Polar Coordinates
107. Verificar que si la curva correspondiente a la ecuación polar
r f gira un ángulo , alrededor del polo, entonces la
107.
ecuación
Verify
de
that
la
if
curva
the curve
girada
whose
es r
polar
f
equation
.
is r f is
rotated about the pole through an angle , then an equation for
108. La
the
forma
rotated
polar
curve
de una
is r
ecuación
f
de
.
una curva es r f sin sen.
Comprobar que la forma se convierte en
108. The polar form of an equation of a curve is r f sin . Show
a) r f cos si la curva gira 2 radianes alrededor del
that the form becomes
polo en sentido contrario a las manecillas del reloj.
b) (a) r r fsin fsen
cos si la if curva the gira curve radianes is rotated alrededor counterclockwise del polo
en sentido 2 radians contrario about a the las manecillas pole. del reloj.
c) (b) r r fcos f sin
la if curva the curve gira 32 is rotated radianes counterclockwise
alrededor del
polo radians en sentido about contrario the pole. a las manecillas del reloj.
(c) r f cos if the curve is rotated counterclockwise 32
En los ejercicios
radians
109
about
a 112,
the pole.
usar los resultados de los ejercicios
107 y 108.
109. In Dar Exercises la ecuación 109–112, del caracol use the rresults 2 of sen sin Exercises después 107 de and girar 108. la
cantidad indicada. Utilizar una herramienta de graficación para
109. Write an equation for the limaçon r 2 sin after it has
representar el giro del caracol.
been rotated by the given amount. Use a graphing utility to
a) graph the b) rotated c) limaçon. d)
4 2
2
110. Dar (a) una ecuación (b) para la (c) curva rosa (d) r 2 sen sin 2 después de
4 2
2
girar la cantidad dada. Verificar los resultados usando una herramienta
Write de an graficación equation for para the representar rose curve el rgiro 2 de sin la curva 2 after rosa. it has
110.
been rotated by the given amount. Verify the results by using
a) a graphing b) utility c) to graph the d) rotated rose curve.
6 2 3
111. Dibujar (a) la gráfica (b) de cada (c) ecuación. (d)
6 2 3
111. a) Sketch r 1 the sen sin graph of b) each r equation.
1 sen sin
112. Demostrar (a) r 1que la sin tangente (b) del rángulo 1 sin 0 2) entre
la recta radial y la recta tangente en el punto r, en la gráfica
112. Prove that the tangent of the angle 2 between
de r f (ver la figura) está dada por tan rdrd.
the radial line and the tangent line at the point r, on the
graph π of r f (see figure) is given by tan
2
Curva π polar: Recta tangente
r 2= f( θ )
Polar curve ψ Tangent line
r = f( θ)
Recta radial
ψ
P = (r, θ ) Radial line
θ P = (r, θ)
O
0
A
O
θ
Eje polar
0
A
Polar axis
En los ejercicios 113 a 118, usar los resultados del ejercicio 112
para In Exercises hallar el ángulo 113–118, use entre the las result rectas of radial Exercise y tangente 112 to find a la the
gráfica angle en el between valor indicado the radial de . and Usar tangent una herramienta lines to the de graph graficación
the indicated para representar value of la . ecuación Use a graphing polar, de la utility recta to radial graph y la the
for
recta polar tangente equation, en el the valor radial indicado line, de and . Identificar the tangent el line ángulo for . the
indicated value of . Identify the angle .
Ecuación polar Valor de
Polar Equation Value of
113. r 21 cos
113. r 21 cos
114. r 31 cos
114. r 31 cos
115. r 2 cos 3
115. r 2 cos 3
116. r 4 sen sin 2
116. r 4 sin 2
6
117. r
117. r 1 cos
6
1 cos
118. r 5
118. r 5
2
2
3
3
34
34
4
4
6
6
23
23
6
6
4
0
4
rdrd.
¿Verdadero o falso? En los ejercicios 119 a 122, determinar si la
afirmación es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué o
True or False? In Exercises 119–122, determine whether the
dar un ejemplo que muestre que es falsa.
statement is true or false. If it is false, explain why or give an
119. example Si r 1 , that 1 y shows r 2 , 2 it is representan false. el mismo punto en el sistema
de coordenadas polares, entonces r 1 r 2 .
120.
119.
Si
If
r,
r
1 1 , 1
y r,
and
2
r
representan 2 , 2 represent
el mismo
the same
punto
point
en el
on
sistema
the polar
de
coordenadas
coordinate system,
polares,
then
entonces r 1 r 1 2 . 2 2n para algún entero
If r, n. 1 and r, 2 represent the same point on the polar
120.
121. Si coordinate x > 0, entonces system, el then punto
1 x,
2y
en 2n el sistema for some de integer coordenadas
If x > rectangulares 0, then the (o point cartesianas) x, y on the puede rectangular representarse coordinate me-
n.
121.
diante system r, can en be represented el sistema de by r, coordenadas on the polares, coordinate donde
r system, x 2 where
y 2 y r x 2 y 2 and
122. 122. Las The ecuaciones polar polares equations r sen r sin 2 y 2, r sen r sin 2 tienen 2, and la
misma r sin2 gráfica. all have the same graph.
Arte Anamorphic anamórfico Art
arctanyx.
El Anamorphic arte anamórfico art appears parece distorsionado, distorted, but when pero cuando the art se is viewed ve desde from un
particular a particular punto point de vista or is o viewed con un dispositivo with a device como such un espejo as a mirror, pareceit
que appears está normal. to be normal. Usar las Use siguientes the anamorphic transformaciones transformations anamórficas
r r y y 1616
y and
3
4 ≤ ≤ 3
8 x, 3
4 3
8 x,
4 4
para to sketch dibujar the la imagen transformed polar transformada polar image of de the la gráfica rectangular rectangular. graph.
Cuando When the se observa reflection la reflexión (in a cylindrical (en un mirror espejo centered cilíndrico at centrado the pole) enof
el each polo) polar de una image imagen is viewed polar from desde the el polar eje polar, axis, el the espectador viewer will ve see la
imagen the original rectangular rectangular original. image.
a) (a) y y 3
3b) (b) x x 2 2c) (c) y yx x5
d) 5 x(d)
2 xy 2 y 5 2 5 5 2 2 5 2
Tomado From the de Millington-Barnard Collection of of Scientific Apparatus, ca 1855 ca
1855 The University The University of Mississippi of Mississippi Museum, Museum, Oxford, Oxford, Mississippi Mississippi.
PROYECTO S E C T I ODE N TRABAJO P R O J E C T
arctanyx.
Este This ejemplo example de of arte anamorphic anamórfico art es is de from la Colección the Millington-Barnard
Barnard Collection en la at Universidad the University de of Mississippi. Cuando When se the observa reflection el reflejo of
de the la “pintura transformed polar”transformada “polar painting” en is el viewed espejo, in el the espectador mirror, the ve viewer el arte
distorsionado sees the distorted en sus art proporciones in its proper adecuadas. proportions.
■ FOR FURTHER INFORMATION For more information on
PARA MAYOR INFORMACIÓN Para más información sobre
anamorphic art, see the article “Anamorphisms” by Philip Hickin in
arte anamórfico, consultar al artículo “Anamorphisms” de Philip
the Mathematical Gazette.
Hickin en Mathematical Gazette.