Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

882 CAPÍTULO 12 Funciones vectoriales
Movimiento de un proyectil En los ejercicios 43 a 46, usar el
modelo para el movimiento de un proyectil, suponiendo que no
hay resistencia del aire. [at 32 pies por segundo al cuadrado
o at 9.8 metros por segundo al cuadrado. ]
43. Un proyectil se dispara desde el nivel del suelo a una velocidad
inicial de 84 pies por segundo con un ángulo de 30° con la horizontal.
Hallar el alcance del proyectil.
44. El centro de la caja de un camión está a 6 pies hacia abajo y a 4
pies horizontalmente del extremo de una cinta transportadora
horizontal que descarga grava (ver la figura). Determinar la
velocidad a que la cinta transportadora debe moverse para
que la grava caiga en el centro de la caja del camión.
45. Un proyectil se dispara desde el nivel del suelo con un ángulo de
20° con la horizontal. El proyectil tiene un alcance de 95 metros.
Hallar la velocidad inicial mínima.
46. Usar una herramienta de graficación para representar las trayectorias
de un proyectil si v 0 20 metros por segundo, h 0 y
a) b) 45° y c) Usar las gráficas para
aproximar en cada caso la altura máxima y el alcance máximo
del proyectil.
En los ejercicios 47 a 54, hallar la velocidad, la rapidez y la aceleración
en el instante t. A continuación hallar a T y a N en el
instante t.
47. rt 2 t i 3tj 48. 1 4ti 2 3tj
rt
49. rt t i t j 50.
53.
54.
En los ejercicios 55 y 56, hallar un conjunto de ecuaciones
paramétricas para la recta tangente a la curva en el espacio en el
punto dado.
55.
56.
v 0
dsdt
30,
6 pies
rt t i t 2 j 1 2 t 2 k
rt t i t 2 j 2 3 t3 k,
4 pies
51. rt e t i e t j
52. rt t cos t i t sen sin t j
rt t 1i t j 1 t k
rt 2 cos t i 2 sen sin t j t k,
t 2
60.
rt 2t 1i 2
t 1 j
57. Órbita de un satélite Hallar la velocidad necesaria para que un
satélite mantenga una órbita circular 550 millas sobre la superficie
de la Tierra.
58. Fuerza centrípeta Un automóvil circula por una glorieta al
doble de la velocidad permitida. ¿En un factor de cuánto aumenta
la fuerza centrípeta sobre la que se tendría a la velocidad permitida?
t
3
En los ejercicios 59 a 62, dibujar la curva plana y hallar su longitud
en el intervalo dado.
Función
59. rt 2ti 3tj
60. rt t 2 i 2tk
61. rt 10 cos 3 ti 10 sen sin 3 tj
62. rt 10 cos ti 10sen
sin tj
Intervalo
En los ejercicios 63 a 66, dibujar la curva en el espacio y hallar
su longitud en el intervalo dado.
Función
63. rt 3ti 2tj 4tk
64. rt ti t 2 j 2tk
65. rt 8 cos t, 8 sen sin t, t
66. rt 2sin sen t t cos t, 2cos t t sen sin t, t
Intervalo
En los ejercicios 67 a 70, hallar la curvatura K de la curva.
67. rt 3ti 2tj
68. rt 2t i 3tj
69. rt 2ti 1 2 t2 j t 2 k
70. rt 2ti 5 cos tj 5 sen sin tk
En los ejercicios 71 y 72, encontrar la curvatura K de la curva en
el punto P.
71. rt 1 2 t2 i tj 1 3 t3 k,
En los ejercicios 73 a 76, hallar la curvatura y el radio de curvatura
de la curva plana en el valor dado de x.
73. y 1 2 x2 2, x 4 74. y e x2 , x 0
75. y ln x, x 1
76. y tan x, x
4
77. Redacción Un ingeniero civil diseña una autopista como se
muestra en la figura. BC es un arco del círculo. AB y CD son
rectas tangentes al arco circular. Criticar el diseño.
A
B
Figura para 77 Figura para 78
78. Un segmento de recta se extiende horizontalmente a la izquierda
desde el punto 1, 1. Otro segmento de recta se extiende
horizontalmente a la derecha del punto 1, 1, como se
muestra en la figura. Hallar una curva de la forma
y ax 5 bx 3 cx
C
D
0, 5
0, 3
P
1
2 , 1, 1 3
0, 2
0, 2
72. rt 4 cos ti 3 sen sin tj tk, P4, 0,
(−1, −1)
que una los puntos 1, 1 y 1, 1 de manera que la pendiente
y curvatura de la curva sean cero en los puntos terminales.
2
1
y
(1, 1)
0, 3
0, 2
0, 2
0, 2
−2 1 2 3
x