Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 12.2 Derivación e integración de funciones vectoriales 843
TEOREMA 12.1 DERIVACIÓN DE FUNCIONES VECTORIALES
1. Si rt f ti gtj, donde ƒ y g son funciones derivables de t, entonces
rt fti gtj.
Plano.
2. Si rt f ti gtj htk, donde ƒ, g y h son funciones derivables de t,
entonces
rt fti gtj htk.
Espacio.
6
y
r(t) = ti + (t 2 + 2)j
EJEMPLO 1
Derivación de funciones vectoriales
5
4
r′(1)
Para la función vectorial dada por r(t) ti (t 2 2)j, encontrar r(t). Entonces bosquejar
la curva plana representada por r(t) y las gráficas de r(1) y r(1).
3 (1, 3)
r(1)
1
−3 −2 −1 1 2 3
Figura 12.9
x
Solución
Derivar cada una de las componentes base para obtener
r(t) i 2tj
Derivada.
Del vector de posición r(t), se pueden escribir las ecuaciones paramétricas x t y
y t 2 2. La ecuación rectangular correspondiente es y x 2 2. Cuando t 1,
r(1) i 3j y r(1) i 2j. En la figura 12.9, r(1) se dibuja iniciando en el origen, y
r(1) se dibuja en el punto final de r(1).
Derivadas de orden superior de funciones vectoriales se obtienen por derivación sucesiva
de cada una de las funciones componentes.
EJEMPLO 2
Derivadas de orden superior
Para la función vectorial dada por rt cos ti sen
sin tj 2tk, hallar
a) rt b) rt
c) rt rt d) rt rt
Solución
a) rt sin sen ti cos tj 2k
Primera derivada.
b) rt cos ti sen sin tj 0k
cos ti sen sin tj
Segunda derivada.
c) rt rt sen sin t cos t sen sin t cos t 0 Producto escalar.
0
i j k
d) rt rt sin sen t cos t 2
Producto vectorial.
cos t sin sen t
cos t 2
sin t 0 i sin t 2
cos t 0 j sin t cos t
t
sen
sen
sen
cos t sin sen
k
2 sen sin ti 2 cos tj k
En el inciso c) nótese que el producto escalar es una función real, no una función vectorial.