Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

962 CAPÍTULO 13 Funciones de varias variables
13.9 Aplicaciones de los extremos de funciones de dos variables
■ Resolver problemas de optimización con funciones de varias variables.
■ Utilizar el método de mínimos cuadrados.
Problemas de optimización aplicada
En esta sección se verán algunas de las muchas aplicaciones de los extremos de funciones
de dos (o más) variables.
EJEMPLO 1
Hallar un volumen máximo
z
(0, 0, 8)
Plano:
6x + 4y + 3z = 24
Una caja rectangular descansa en el plano xy con uno de sus vértices en el origen. El vértice
opuesto está en el plano
6x 4y 3z 24
como se muestra en la figura 13.73. Hallar el volumen máximo de la caja.
Solución Sean x, y y z el largo, ancho y la altura de la caja. Como un vértice de la caja
se encuentra en el plano 6x 4y 3z 24, se sabe que z – 1 3
(24 6x 4y), y así se
puede expresar el volumen xyz de la caja en función de dos variables.
Vx, y xy 1 324 6x 4y
1 324xy 6x 2 y 4xy 2
x
(4, 0, 0)
Figura 13.73
(0, 6, 0)
y
Igualando a 0 las primeras derivadas parciales
V x x, y 1 324y 12xy 4y 2 y 24 12x 4y 0
3
V y x, y 1 324x 6x 2 8xy x 24 6x 8y 0
3
se obtienen los puntos críticos (0, 0) y 4 3 , 2. En (0, 0) el volumen es 0, así que ese punto
no proporciona un volumen máximo. En el punto 4 3 , 2, se puede aplicar el criterio de las
segundas derivadas parciales.
NOTA En muchos problemas prácticos,
el dominio de la función a optimizar
es una región acotada cerrada.
Para encontrar los puntos mínimos o
máximos, no sólo se deben probar los
puntos críticos, sino también los valores
de la función en los puntos frontera.
■
Como
y
V xx x, y 4y
V yy x, y 8x
3
V xy x, y 1 324 12x 8y
V xx 4 3 , 2V yy 4 3 , 2 V xy 4 3 , 22 8 32 9 8 3 2 64 3 > 0
V xx 4 3 , 2 8 < 0
se concluye de acuerdo con el criterio de las segundas derivadas parciales que el volumen
máximo es
V 4 3 , 2 1 324 4 32 6 4 3 2 2 4 4 32 2
64 9
unidades cúbicas.
Nótese que el volumen es 0 en los puntos frontera del dominio triangular de V.