Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

1024 CAPÍTULO 14 Integración múltiple
La regla de Simpson o la regla del trapecio pueden usarse para aproximar el valor de
una integral doble, siempre que se pueda obtener la primera integral. Esto se ilustra en el
ejemplo siguiente.
Paraboloide:
f(x, y) = 2 − x 2 − y 2
2
z
EJEMPLO 5
Aproximación del área de una superficie mediante
la regla de Simpson
Hallar el área de la superficie del paraboloide
fx, y 2 x 2 y 2
Paraboloide.
que se encuentra sobre la región cuadrada acotada por 1 ≤ x ≤ 1 y 1 ≤ y ≤ 1, como
se muestra en la figura 14.50.
Solución Utilizando las derivadas parciales
f x x, y 2x y f y x, y 2y
se tiene que el área de la superficie es
x
2
Figura 14.50
−1
1
−1
y
r = sec θ
1
θ =
π
4
x
θ = −
π
4
Un cuarto de la región R está acotada por
0 ≤ r ≤ sec y
4 ≤
Figura 14.51
≤
1
R: −1
≤ x ≤ 1
−1 ≤ y ≤ 1
4 .
y
S R 1 f x x, y 2 f y x, y 2 dA
R 1
R 2x2 2y 2 dA
1 4x2 4y 2 dA.
En coordenadas polares, la recta x 1 está dada por r cos 1 o r sec , y en la figura
14.51 se puede determinar que un cuarto de la región R está limitada o acotada por
0 ≤ r ≤ sec
y
Haciendo x r cos y y r sin sen
se obtiene
1
4 S 1 4R 1 4x2 4y 2 dA
40
4
1
124
Por último, usando la regla de Simpson con n 10, se aproxima esta integral simple
S
3
1 4
1 4 sec 2 32 1 d
4
7.450.
sec
4 ≤
1 4r 2 r dr d
1
12 1 4r2 32 sec
0
d
1 4 sec 2 32 1 d.
≤
4 .
TECNOLOGÍA La mayor parte de los programas de computación que realizan integración
simbólica con integrales múltiples también realizan técnicas de aproximación
numéricas. Si se dispone de uno de estos programas, se recomienda usarlo para aproximar
el valor de la integral del ejemplo 5.