Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

Solución de problemas 981
SP
Solución de problemas
1. La fórmula de Heron establece que el área de un triángulo con
lados de longitudes a, b y c está dada por
A ss as bs c
donde
a
a) Utilizar la fórmula de Heron para calcular el área del triángulo
con vértices 0, 0, 3, 4, y 6, 0.
b) Mostrar que, de todos los triángulos que tienen un mismo
perímetro, el triángulo con el área mayor es un triángulo equilátero.
c) Mostrar que, de todos los triángulos que tienen una misma
área, el triángulo con el perímetro menor es un triángulo equilátero.
2. Un tanque industrial tiene forma cilíndrica con extremos hemisféricos,
como se muestra en la figura. El depósito debe almacenar
1 000 litros de fluido. Determinar el radio r y longitud h
que minimizan la cantidad de material utilizado para la
construcción del tanque.
3. Sea Px 0 , y 0 , z 0 un punto en el primer octante en la superficie
xyz 1.
a) Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie en el
punto P.
b) Mostrar que el volumen del tetraedro formado en los tres
planos de coordenadas y el plano tangente es constante, independiente
del punto de tangencia (ver la figura).
3
x
s a b c , como se muestra en la figura.
2
4. Utilizar un sistema algebraico por computadora y representar las
funciones f x x 3 3 1 y x en la misma pantalla.
a) Mostrar que
gx lim lím f x gx 0 y
x→
c
3
z
b
P
h
3
y
lim lím f x gx 0.
x→
b) Hallar el punto en la gráfica de f que está más alejado de la
gráfica de g.
r
5. a) Sean f(x, y) = x – y y g(x, y) = x 2 + y 2 = 4. Graficar varias curvas
de nivel de f y la restricción g en el plano xy. Usar la gráfica
para determinar el valor mayor de f sujeto a la restricción
g = 4. Después, verificar su resultado mediante los multiplicadores
de Lagrange.
b) Sean f(x, y) = x – y y g(x, y) = x 2 + y 2 = 0. Encontrar los valores
máximos y mínimos de f sujetos a la restricción g = 0.
¿Funcionará el método de los multiplicadores de Lagrange en
este caso? Explicar.
6. Un cuarto caliente de almacenamiento tiene la forma de una caja
rectangular y un volumen de 1 000 pies cúbicos, como se muestra
en la figura. Como el aire caliente sube, la pérdida de calor
por unidad de área a través del techo es cinco veces mayor que
la pérdida de calor a través del suelo. La pérdida de calor a
través de las cuatro paredes es tres veces mayor que la pérdida
de calor a través del suelo. Determinar las dimensiones del
cuarto que minimizan la pérdida de calor y que por consiguiente
minimizan los costos de calefacción.
7. Repetir el ejercicio 6 suponiendo que la pérdida de calor a través
de las paredes y del techo sigue siendo la misma, pero el suelo
se aísla de manera que no hay ninguna pérdida de calor a través
del mismo.
8. Considerar una placa circular de radio 1 dada por x 2 y 2 ≤ 1,
como se muestra en la figura. La temperatura sobre cualquier
punto Px, y de la placa es Tx, y 2x 2 y 2 y 10.
−1
V = xyz = 1 000
x
1
−1
y
x 2 + y 2 ≤ 1
a) Dibujar las isotermas Tx, y 10.
b) Hallar el punto más caliente y el punto más frío de la placa.
9. Considerar la función de producción de Cobb-Douglas
f x, y Cx a y 1a , 0 < a < 1.
a) Mostrar que f satisface la ecuación
b) Mostrar que f tx, ty tfx, y.
1
y
x
z
x f
dx y f
dy f.
10. Expresar la ecuación de Laplace 2 u
en coordenadas
x 2 u
2 y 2 u
2 z 0 2
cilíndricas.