Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

1098 CAPÍTULO 15 Análisis vectorial
En la sección 15.1 se estableció una condición necesaria y suficiente para campos vectoriales
conservativos. Ahí sólo se In presentó Section 15.1, una dirección a necessary de la and demostración. sufficient condition Ahora se for puede conservative vec
on 15.1, a necessary and sufficient condition for conservative dar la otra vector dirección, fieldsusando was el listed. teorema There, de Green. only one Sea direction Fx, y of Mi the proof Nj definido was shown. en un You can now ou
here, only one direction of the proof was shown. You disco can abierto now outline R. Se the quiere demostrar other direction, que si using M y NGreen’s tienen primeras Theorem. derivadas Let Fx, y parciales Mi con-
tinuas be defined y on an open disk R. You want to show that if M and N have continuous first partial deriva
Nj be defined on
on, using Green’s Theorem. Let Fx, y Mi Nj
want to show that if M and N have continuous first partial
M
derivatives and
M
y N
y N
x
x
N
x
entonces F es conservativo. then Supóngase F is conservative. que C es una Suppose trayectoria that cerrada C is a que closed forma path la forming frontera
the de boundary una región of conexa a connected contenida region en R. Entonces, lying in R. usando Then, using el hecho the fact de que that My Nx, you c
the bound
nservative. Suppose that C is a closed path forming
egion lying in R. Then, using the fact that My Nx, you se puede can apply aplicar el Green’s teorema Theorem de Green to para conclude concluir that que
orem to conclude that
F dr M dx N dy F dr M dx N dy
C
C
dr M dx N dy
C
R
N
x M
y dA
C
R
N
x M
y dA
0.
0.
0.
This, in turn, is equivalent to showing that F is conservative (see Theorem 1
, is equivalent to showing that F is conservative (see
Esto
Theorem
es, a su
15.7).
vez, equivalente a mostrar que F es conservativo (ver teorema 15.7).
Alternative Forms of Green’s Theorem
ve Forms of Green’s Theorem Formas alternativas del teorema de Green
This section concludes with the derivation of two vector forms of Green’s
concludes with the derivation of two vector forms Esta of Green’s sección Theorem concluye con for la deducción regions in the de dos plane. formulaciones The extension vectoriales of these vector del teorema forms to dethree dimensio
n the plane. The extension of these vector forms to three Green dimensions para regiones is theen el basis plano. for La the extensión discussion de in estas the formas remaining vectoriales sections a of tres this dimensiones
If F is es a la vector base del field estudio in en the el plane, resto de you las can secciones write de este capítulo. Si F es un campo
chapter. If F is a ve
discussion in the remaining sections of this chapter.
, you can write
vectorial en el plano, se puede escribir Fx, y, z Mi Nj 0k
z Mi Nj 0k
Fx, y, z Mi Nj so 0k that the curl of F, as described in Section 15.1, is given by
url of F, as described in Section 15.1, is given by
por lo que el rotacional de F, como se describió en la sección 15.1, está dada por
i j k
i j k
i jcurl kF F
F
x y z
x y z
curl F
rot F
M N 0
x y z
M N 0
M N 0
N
z i M
z j N
x M
N
y k.
N
z
Consequently, i M
z j N
x M
z i M
z j N
x M
y k.
y k.
ly,
Por consiguiente,
k N
z i M
z j N
x M
y k k
1098 Chapter 15 Vector Analysis
R
N
x M
y dA
curl F k N
z i M
z j N
x M
y k k
curl F k N
z i M
z j N
x M
y k k
N
x M
(rot F)
N
y .
x M
y .
N
x M
y . With appropriate conditions on F, C, and R, you can write Green’s Th
propriate conditions on F, C, and R, you can write Green’s Theorem in the vector form
orm
Con condiciones apropiadas sobre F, C y R, se puede escribir el teorema de Green en
forma vectorial
dr R
N
x M
F dr R C
N
y dA x M
y dA
F dr R C
N
R x M
y
R dA curl F k dA. First alternative form
curl F k dA. First alternative form
The extension of this vector form of Green’s Theorem to surfaces in space
on of this vector form of Green’s Theorem to surfaces in space produces R (rot curl F) Stokes’s F · k dA. k dA. Theorem, Primera discussed forma alternativa. in Section 15.8.
eorem, discussed in Section 15.8.
La extensión de esta forma vectorial del teorema de Green a superficies en el espacio da
lugar al teorema de Stokes, que se estudia en la sección 15.8.
C