Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

948 CAPÍTULO 13 Funciones de varias variables
EJEMPLO 3
Hallar una ecuación del plano tangente
Hallar la ecuación del plano tangente al paraboloide
z 1 1
10 x2 4y 2
en el punto 1, 1, 1 2.
Solución De z f x, y 1 10x 1 2 4y 2 , se obtiene
f x x, y x 5
f x 1, 1 1 5
Superficie:
z = 1 −
1
(x 2 + 4y 2 )
10
z
2
1
( 1, 1, 2 )
−6
y
f yx, y 4y
5
f y 1, 1 4 5 .
Así, una ecuación del plano tangente en 1, 1, 1 2 es
−3
f x 1, 1x 1 f y 1, 1y 1 z 1 2 0
x
6
5
2
3
y
1 5 x 1 4 5 y 1 z 1 2 0
1 5 x 4 5 y z 3 2 0.
Figura 13.59
Este plano tangente se muestra en la figura 13.59.
El gradiente Fx, y, z proporciona una manera adecuada de obtener ecuaciones de
rectas normales, como se muestra en el ejemplo 4.
EJEMPLO 4
Hallar una ecuación de una recta normal
a una superficie
Hallar un conjunto de ecuaciones simétricas para la recta normal a la superficie dada por
xyz 12 en el punto 2, 2, 3.
Solución
Se comienza por hacer
Superficie: xyz = 12
z
−2
−4
−2
−4
−6
∇F(2, −2, −3)
Figura 13.60
2
4
x
2
4
y
Fx, y, z xyz 12.
Entonces, el gradiente está dado por
Fx, y, z F x x, y, zi F y x, y, zj F z x, y, zk
y en el punto 2, 2, 3 se tiene
F2, 2, –2, 3 –3 23i –2 –3 2(3j2 – 3 22k2 –2
La recta normal en 2, 2, 3 tiene números de dirección o directores 6, 6 y 4, y el
conjunto correspondiente de ecuaciones simétricas es
x 2
y 2
6 6 z 3
4 .
Ver la figura 13.60.
yzi xzj xyk
6i 6j 4k.