Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 11.5 Rectas y planos en el espacio 811
122. Diseño industrial Un colector en la parte superior de un
montacargas de grano canaliza el grano a un contenedor. Hallar
122. el Mechanical ángulo entre Design dos lados The adyacentes. figure shows a chute at the top of a
grain elevator of a combine that funnels the grain into a bin.
8 pulg
Find 8 pulgthe angle between two adjacent sides.
8 in.
6 pulg
8 in.
6 pulg
8 pulg
8 in.
123. Distancia Dos insectos se arrastran 6 in. a lo largo de rectas diferentes
en el espacio.
6 in.
En el instante t (en minutos), el primer
123. insecto Distance está Two en el insects punto are (x, crawling y, z) sobre along la recta different x lines 6 t, in
y three-space. 8 t, zAt time 3 t. t (in También, minutes), en el the instante first insect t, el segundo is at the
insecto point x, está y, en z on el punto the line (x, x y, z) 6 sobre t, y la 8recta
t, xz 13 t, t.
y Also, 2 at t, time z t, the 2t. second insect is at the point x, y, z on the
Suponer line x que 1 las t, distancias y 2 t, se zdan 2t. en pulgadas.
a) Assume Hallar that la distancia distances entre are given los dos in inches. insectos en el instante
(a) t Find 0. the distance between the two insects at time t 0.
b) (b) Usar Use una a graphing herramienta utility de graficación to graph the para distance representar between la distancia
insects entre from los tinsectos 0
tdesde
10. t 0 hasta t 10.
the
c) (c) Usando Using la the gráfica graph del from inciso part b), (b), ¿qué what se puede can concluir you conclude acerca
about de la distancia the distance entre between los insectos? the insects?
d) (d) ¿Qué How tanto close se to acercan each other los insectos? do the insects get?
11.5 Lines and Planes in Space 811
124. Hallar la ecuación estándar de la esfera con el centro en
(3, 2, 4) que es tangente al plano dado por 2x 4y 3z 8.
125. 124. Hallar Find the el punto standard de intersección equation of del the plano sphere 3x with center y 4z3, 7 2, con 4
la that recta is tangent que pasa to por the plane (5, 4, given 3) y by que 2xes perpendicular 4y 3z 8. a este
125.
plano.
Find the point of intersection of the plane 3x y 4z 7
126. Mostrar and the que line el through plano 5, 2x 4, 3 y 3z that is 4 perpendicular es paralelo a la to recta this
xplane.
2 2t, y 1 4t, z 4, y hallar la distancia entre
126.
ambos.
Show that the plane 2x y 3z 4 is parallel to the line
127. Hallar x 2el punto 2t, y de 1 intersección 4t, z de 4, la and recta find que the pasa distance por
(1, between 3, 1) them. y (3, 4, 2), y el plano dado por x y z 2.
128. 127. Hallar Find the un conjunto point of intersection de ecuaciones of paramétricas the line through de la 1, recta 3, que 1
pasa and 3, por 4, el punto 2, and (1, the 0, plane 2) y given es paralela by x al y plano z dado 2. por
128.
x
Find
y
a
set
z
of
parametric
5, y perpendicular
equations
a
for
la
the
recta
line
x
passing
t, y
through
1 t,
z
the
1
point
t.
1, 0, 2 that is parallel to the plane given by
x y z 5, and perpendicular to the line x t,
¿Verdadero
y 1
o
falso?
t, z 1
En
los
t.
ejercicios 129 a 134, determinar si la
declaración es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué o
dar True un or ejemplo False? que In pruebe Exercises que 129–134, es falsa. determine whether the
129. statement Si v is a true
1 i bor 1 j false. c 1 k If es it cualquier is false, vector explain en el why plano or dado give por an
example a 2 x that b 2 yshows c 2 z it is dfalse.
2 0, entonces a 1 a 2 b 1 b 2 c 1 c 2 0.
130. 129. Todo If v par a 1 de i rectas b 1 j en cel 1 kespacio is any o vector se cortan in the o son plane paralelas. given by
131. Dos
a 2 x
planos
b 2 y
en
c
el 2 z
espacio
d 2
o
0,
se
then
cortan
a 1 a
o 2
son
b 1 paralelos.
b 2 c 1 c 2 0.
132. 130. Si Every dos rectas two lines L 1 y in L 2 space son paralelas are either a intersecting un plano P, or entonces parallel. L 1 y
131. LTwo 2 son planes paralelas. in space are either intersecting or parallel.
133. 132. Dos If two planos lines perpendiculares L 1 and L 2
parallel a un tercer to a plano plane P, en then el espacio L 1 and son L 2
paralelos. are parallel.
134. 133. Un Two plano planes y una perpendicular recta en el to espacio a third se plane intersecan space o are son parallel. paralelos.
134. A plane and a line in space are either intersecting or parallel.
PROYECTO S E C T I ODE N TRABAJO P R O J E C T
Distancias Distances en in Space el espacio
En You esta have sección learned se han two visto distance dos fórmulas formulas para distancia, in this section—the la distancia
de distance un punto between a un plano, a point y la distancia and a plane, de un and punto the a distance una recta. between En estea
proyecto point and se estudiará a line. In un this tercer project problema you de will distancias, study a la third distancia distance de
dos problem—the rectas que se distance cruzan. between Dos rectas two en skew el espacio lines. son Two oblicuas lines in space si no
son areparalelas skew if they ni se are cortan neither (ver parallel la figura). nor intersecting (see figure).
a) (a) Considerar las the siguientes following dos two rectas lines in en space. el espacio.
L 1 L: 1
x: x 4 4 5t, 5t, y y 5 5 5t, 5t, z z 1 1 4t4t
L 2 L: 2
x: x 4 4 s, s, y y6 6 8s, 8s, z z 7 7 3s3s
i) (i) Mostrar Show that que these estas lines rectas are no not son parallel. paralelas.
ii) Mostrar que estas rectas no se cortan, y por consiguiente
las rectas se cruzan.
(ii) Show that these lines do not intersect, and therefore are
skew lines.
iii) Mostrar que las dos rectas están en planos paralelos.
iv) (iii) Hallar Show la that distancia the two entre lines los lie planos in parallel paralelos planes. del inciso
(iv) iii). Find Ésta the es distance la distancia between entre the las parallel rectas planes que se from cruzan part
originales. (iii). This is the distance between the original skew
b) Usar el lines. procedimiento del inciso a) para encontrar la distancia
Use entre the las procedure rectas. in part (a) to find the distance between
(b)
Lthe lines.
1 : x 2t, y 4t, z 6t
LL 1 : x 2t, y 4t, z 6t
2 : x 1 s, y 4 s, z 1 s
L 2 : x 1 s, y 4 s, z 1 s
c) (c) Usar Use el the procedimiento procedure in del part inciso (a) to a) find para the encontrar distance la between distancia
the entre lines. las rectas.
L 11 :: x 3t, 3t, y 2 t, t, z 1 1 tt
L 22 :: x 1 4s, y 2 2 s, s, z 3 3 3s 3s
d) (d) Desarrollar Develop a una formula fórmula for para finding encontrar the distance la distancia between de the las
rectas skew oblicuas. lines.
L 11 :: x x 11 a 11 t, t, y y 11 b 11 t, t, z z 11 c 11 tt
L 22 :: x x 22 a 22 s, s, y y 22 b 22 s, s, z z 22 c 22 s
L 1
L 2