Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 13.9 Aplicaciones de los extremos de funciones de dos variables 963
En las aplicaciones de los extremos a la economía y a los negocios a menudo se tiene
más de una variable independiente. Por ejemplo, una empresa puede producir varios modelos
de un mismo tipo de producto. El precio por unidad y la ganancia o beneficio por
unidad de cada modelo son, por lo general, diferentes. La demanda de cada modelo es, a
menudo, función de los precios de los otros modelos (así como su propio precio). El siguiente
ejemplo ilustra una aplicación en la que hay dos productos.
EJEMPLO 2
Beneficio máximo
Un fabricante de artículos electrónicos determina que la ganancia o beneficio P (en
dólares) obtenido al producir x unidades de un reproductor de DVD y y unidades de un
grabador de DVD se aproxima mediante el modelo
Px, y 8x 10y 0.001x 2 xy y 2 10,000.
Hallar el nivel de producción que proporciona una ganancia o beneficio máximo. ¿Cuál es
la ganancia máxima?
Solución Las derivadas parciales de la función de beneficio son
P x x, y 8 0.0012x y
y
P y x, y 10 0.001x 2y.
PARA MAYOR INFORMACIÓN
Para más información sobre el uso de
la matemática en la economía, ver el
artículo “Mathematical Methods of
Economics” de Joel Franklin en The
American Mathematical Monthly.
Igualando estas derivadas parciales a 0, se obtiene el sistema de ecuaciones siguiente.
8 0.0012x y 0
10 0.001x 2y 0
Después de simplificar, este sistema de ecuaciones lineales puede expresarse como
2x 2y 08 000
2x 2y 10 000.
Resolviendo el sistema se obtiene x 2 000 y y 4 000. Las segundas derivadas parciales
de P son
P xx
(2 000, 4 000) 0.002
P yy
(2 000, 4 000) 0.002
P xy
(2 000, 4 000) 0.001.
Como P xx < 0 y
P xx
(2 000, 4 000)P yy
(2 000, 4 000) [P xy
(2 000, 4 000)] 2
se concluye que el nivel de producción con x 2 000 unidades y y 4 000 unidades proporciona
el beneficio máximo. El beneficio máximo es
P(2 000, 4 000) 8(2 000) 10(4 000)
(0.001)[2 000 2 2 000(4 000) 4 000 2 )] 10 000
$18 000.
0.002 2 0.001 2 > 0
NOTA En el ejemplo 2 se supuso que la planta industrial puede producir el número requerido de
unidades para proporcionar el beneficio máximo. En la práctica, la producción estará limitada por
restricciones físicas. En la sección siguiente se estudiarán tales problemas de optimización. ■