Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 14.5 Área de una superficie 1021
DEFINICIÓN DEL ÁREA DE UNA SUPERFICIE
Si ƒ y sus primeras derivadas parciales son continuas en la región cerrada R en el
plano xy, entonces el área de la superficie S dada por z fx, y sobre R está dada
por
Área de la Surface superficie area R dS
Para memorizar la integral doble para el área de una superficie, es útil notar su semejanza
con la integral de la longitud del arco.
Longitud sobre el eje x:
Longitud de arco en el plano xy:
Área en el plano xy:
Área de una superficie
en el espacio:
R 1 f xx, y 2 f y x, y 2 dA.
b
dx
a
b
a
b
ds 1 fx 2 dx
a
R dA
R dS R 1 f x x, y 2 f y x, y 2 dA
Igual que las integrales para la longitud de arco, las integrales para el área de una
superficie son a menudo muy difíciles de calcular. Sin embargo, en el ejemplo siguiente se
muestra un tipo que se evalúa con facilidad.
EJEMPLO 1
El área de la superficie de una región plana
Plano:
z = 2 − x − y
2
z
Hallar el área de la superficie de la porción del plano
z 2 x y
que se encuentra sobre el círculo x 2 y 2 ≤ 1 en el primer cuadrante, como se muestra en
la figura 14.45.
Solución Como f x x, y 1 y f y x, y 1, el área de la superficie está dada por
S R 1 f x x, y 2 f y x, y 2 dA
Fórmula para el área de la superficie.
2 2
x
R: x 2 + y 2 ≤ 1
Figura 14.45
y
R R 1 1 12 12 1 1 2 dA
R 3 dA
Sustituir.
3R dA.
Observar que la última integral es simplemente 3 por el área de la región R. R es un
1
cuarto del círculo de radio 1, cuya área es 41 2 o 4. Por tanto, el área de S es
S 3 area área of de R R
3
4
3
4 .