Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 11.2 Coordenadas y vectores en el espacio 779
EJEMPLO 6
Notación empleando los vectores unitarios
canónicos
a) Expresar el vector v 4i 5k por medio de sus componentes.
b) Hallar el punto final del vector v 7i j 3k, dado que el punto inicial es
P2, 3, 5.
Solución
a) Como falta j, su componente es 0 y
v 4i 5k 4, 0, 5.
b) Se necesita encontrar Qq tal que v PQ \
1 , q 2 , q 3
7i j 3k. Esto implica que
q 1 2 7, q 2 3 1, y q 3 5 3. La solución de estas tres ecuaciones es
q 1 5, q 2 2, y q 3 8. Por tanto, Q es (5, 2, 8).
Aplicación
EJEMPLO 7
Magnitud de una fuerza
P (0, 0, 4)
Q 1
(0, −1, 0)
x
Figura 11.23
z
( , )
Q 3
3 −
1
, 0 2 2
( , )
Q 3 1 2 , 0 2 2
y
Una cámara de televisión de 120 libras está colocada en un trípode, como se muestra en la
figura 11.23. Representar la fuerza ejercida en cada pata del trípode como un vector.
Solución Sean los vectores F 1 , F 2 , y F 3 las fuerzas ejercidas en las tres patas. A partir de
la figura 11.23, se puede determinar que las direcciones de F 1 , F 2 , y F 3 son las siguientes.
PQ \ 1 0 0, 1 0, 0 4 0, 1, 4
PQ \ 2 3
2 0, 1 2 0, 0 4 3
2 , 1 2 , 4
PQ \ 3 3 2 0, 1 2 0, 0 4 3 2 , 1 2 , 4
Como cada pata tiene la misma longitud, y la fuerza total se distribuye igualmente entre
las tres patas, se sabe que F 1 F 2 F 3 . Por tanto, existe una constante c tal que
F 1 c0, 1, 4, y
F 2 c 3
2 , 1 2 , 4 ,
F 3 c 3 2 , 1 2 , 4 .
Sea la fuerza total ejercida por el objeto la dada por
el hecho que
F 0, 0, 120.
Entonces, usando
F F 1 F 2 F 3
se puede concluir que F 1 , F 2 , y F 3 tienen todas una componente vertical de 40. Esto
implica que c4 40 y c 10. Por tanto, las fuerzas ejercidas sobre las patas
pueden representarse por
F 1 0, 10, 40
F 2 53, 5, 40
F 3 53, 5, 40.