Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

1130 CAPÍTULO 15 Análisis vectorial
EJEMPLO 4
Calcular el flujo mediante el teorema de la divergencia
Sea Q la región limitada o acotada por la esfera x 2 y 2 z 2 4. Hallar el flujo dirigido
hacia afuera del campo vectorial Fx, y, z 2x 3 i 2y 3 j 2z 3 k a través de la esfera.
Solución Por el teorema de la divergencia, se tiene
Flujo Flux a través across de S
S F N dS div F dV
Q
6x 2 y 2 z 2 dV
Q
2
60
2
60
0
12
0
0 0
2
24 32 5
2
24
d
4
sin sen
24 sen sin
d d d
d d
Coordenadas esféricas.
768 .
5
15.7 Ejercicios
En los ejercicios 1 a 6, verificar el teorema de la divergencia evaluando
S F N dS
como una integral de superficie y como una integral triple.
1.
2.
Fx, y, z 2xi 2yj z 2 k
S: cubo limitado o acotado por los planos x 0, x a, y 0,
y a, z 0, z a
Fx, y, z 2xi 2yj z 2 k
S: cilindro x 2 y 2 4,
a
z
0 ≤ z ≤ h
h
z
3. Fx, y, z 2x yi 2y zj zk
S: superficie limitada o acotada por los planos 2x 4y 2z =
12 y los planos coordenados
4. Fx, y, z xyi zj x yk
S: superficie limitada o acotada por el plano y 4 y z 4 x
y los planos coordenados
z
z
6
4
4
4
x
y
3
6
y
x
Figura para 3 Figura para 4
x
a
a
y
x
2
2
y
5. F x, y, z xzi zyj 2z 2 k
6.
S: superficie acotada por z 1 x 2 y 2 y z 0
F x, y, z xy 2 i yx 2 j ek
Figura para 1 Figura para 2
S:
superficie acotada por z x 2 y 2 y z 4