Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 12.5 Longitud de arco y curvatura 879
En los ejercicios 57 a 60, usar una herramienta de graficación
para representar la función. En la misma pantalla, representar
el círculo de curvatura de la gráfica en el valor dado de x.
57. y x 1 x 1 58. y ln x, x 1
x ,
59. y e x , x 0
60. y 1 3 x3 ,
Evoluta Un evoluta es la curva formada por el conjunto de centros
de curvatura de una curva. En los ejercicios 61 y 62 se dan
una curva y su evoluta. Usar un compás para trazar los
círculos de curvatura con centros en los puntos A y B.
61. Cicloide:
Evoluta:
62. Elipse:
Evoluta:
x t sen sin t
y 1 cos t
x sen sin t t
y cos t 1
x 3 cos t
y 2 sen sin t
x 5 3 cos 3 t
y 5 2 sin sen 3 t
En los ejercicios 63 a 70 a) hallar el punto de la curva en el que
la curvatura K es máxima y b) hallar el límite de K cuando
x →.
63. y x 1 2 3
64. y x 3
65. y x 66. y 1 23 x
67. y ln x
68. y e x
69. y senh x
70. y cosh x
En los ejercicios 71 a 74, hallar todos los puntos de la gráfica de
una función en los que la curvatura es cero.
− π
71. y 1 x 3
72. y x 1 3 3
73. y cos x
74. y sen sin x
Desarrollo de conceptos
π
− π
y
B
π
− π
x 1
75. a) Dada la fórmula para la longitud de arco de una curva
suave en el espacio.
b) Dada las fórmulas para la curvatura en el plano y en el
espacio.
76. Describir la gráfica de una función vectorial para la que la
curvatura sea 0 en todos los valores t de su dominio.
y
π
A
B
A
π
x
x
Desarrollo de conceptos (continuación)
77. Dada una función dos veces derivable y f x, determinar su
curvatura en un extremo relativo. ¿Puede la curvatura tener
valores mayores que los que alcanza en un extremo relativo?
¿Por qué sí o por qué no?
Para discusión
78. Una partícula se mueve a lo largo de la curva plana C descrita
por r(t) ti t 2 j.
a) Encontrar la longitud de C en el intervalo 0 t 2.
b) Encontrar la curvatura K de la curva plana en t 0,
t 1 y t 2.
c) Describir la curvatura de C cuando t varía desde t 0
hasta t 2.
79. En la elipse dada por x 2 4y 2 4. , mostrar que la curvatura es
mayor en los puntos terminales del eje mayor, y es menor en los
puntos terminales del eje menor.
80. Investigación Hallar todos los a y b tales que las dos curvas
dadas por
y 1 axb x y y 2
x
x 2
se corten en un solo punto y tengan una recta tangente común y
curvatura igual en ese punto. Trazar una gráfica para cada conjunto
de valores de a y b.
CAS 81. Investigación Considerar la función fx x 4 x 2 .
a) Usar un sistema computacional para álgebra y encontrar la
curvatura K de la curva como función de x.
b) Usar el resultado del inciso a) para hallar los círculos de curvatura
de la gráfica de f en x 0 y x 1. Usar un sistema
algebraico por computadora y representar gráficamente la
función y los dos círculos de curvatura.
c) Representar gráficamente la función Kx y compararla con
la gráfica de fx. Por ejemplo, ¿se presentan los extremos de
f y K en los mismos números críticos? Explicar el razonamiento.
82. Investigación La superficie de una copa se forma por revolución
de la gráfica de la función
CAS
y 1 4 x 85 ,
0 ≤ x ≤ 5
en torno al eje y. Las medidas se dan en centímetros.
a) Usar un sistema algebraico por computadora y representar
gráficamente la superficie.
b) Hallar el volumen de la copa.
c) Hallar la curvatura K de la curva generatriz como función de
x. Usar una herramienta de graficación para representar K.
d) Si un objeto esférico se deja caer en la copa, ¿es posible que
toque el fondo? Explicar la respuesta.
83. Una esfera de radio 4 se deja caer en el paraboloide dado por
z x 2 y 2 .
a) ¿Qué tanto se acercará la esfera al vértice del paraboloide?
b) ¿Cuál es el radio de la esfera mayor que toca el vértice?