Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 15.3 Campos vectoriales conservativos e independencia de la trayectoria 1083
15.3 Campos vectoriales conservativos e independencia
de la trayectoria
■ Comprender y utilizar el teorema fundamental de las integrales de línea.
■ Comprender el concepto de independencia de la trayectoria.
■ Comprender el concepto de conservación de energía.
y
1 (1, 1)
C 1
Teorema fundamental de las integrales de línea
El estudio realizado en la sección anterior indica que en un campo gravitatorio el trabajo
realizado por la gravedad sobre un objeto que se mueve entre dos puntos en el campo es
independiente de la trayectoria seguida por el objeto. En esta sección se estudia una generalización
importante de este resultado, a la que se le conoce como teorema fundamental
de las integrales de línea.
Para empezar, se presenta un ejemplo en el que se evalúa la integral de línea de un
campo vectorial conservativo por tres trayectorias diferentes.
EJEMPLO 1
Integral de línea de un campo vectorial conservativo
(0, 0)
1
x
Hallar el trabajo realizado por el campo de fuerzas
a)
y
C 1
: y = x
Fx, y 1 2 xyi 1 4 x2 j
sobre una partícula que se mueve de (0, 0) a (1, 1) a lo largo de cada una de las trayectorias,
como se muestra en la figura 15.19.
a) C b) C 2 : x y 2
1 : y x
c)
C 3 : y x 3
1 (1, 1)
C 2
Solución
a) Sea rt ti tj para 0 ≤ t ≤ 1, por lo que
dr i j dt
y
Fx, y 1 2 t 2 i 1 4 t 2 j.
b)
(0, 0)
(0, 0)
y
C 2
: x = y 2
1 (1, 1)
c)
Figura 15.19
C 3
C 3
: y = x 3
1
1
x
x
Entonces, el trabajo realizado es
1
3
W F dr C 1
0
4 t 2 dt 1 4 1 t3 0
b) Sea rt ti t j para 0 ≤ t ≤ 1, por lo que
dr i 1 y Fx, y 1 2 t 32 i 1 4 t 2 j.
2t j dt
Entonces, el trabajo realizado es
1
5
W F dr C 2
0
8 t 32 dt 1 4 t 52 1 0
c) Sea rt 1 2 ti 1 8 t 3 j para 0 ≤ t ≤ 2, por lo que
dr
1
2 i 3 8 t2 j dt
Entonces, el trabajo realizado es
2
W F dr C 3
0
y
5
128 t 4 dt 1
128 t 5 2 0
1 4 .
1 4 .
Fx, y 1
32 t 4 i 1
16 t 2 j.
1 4 .
Por tanto, el trabajo realizado por un campo vectorial conservativo es el mismo para todas
las trayectorias.