Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

1022 CAPÍTULO 14 Integración múltiple
EJEMPLO 2
Hallar el área de una superficie
z
Superficie:
f(x, y) = 1 − x 2 + y
Hallar el área de la porción de la superficie
fx, y 1 x 2 y
2
(0, 1, 2)
que se encuentra sobre la región triangular cuyos vértices son
0, 1, 0, como se muestra en la figura 14.46a.
1, 0, 0,
0, 1, 0 y
1
Solución Como f x x, y 2x y f y x, y 1, se tiene
S R 1 f x x, y 2 f y x, y 2 dA R 1 4x 2 1 dA.
a)
−1
x
y
1
1
y = 1 − x
1 y
R: 0 ≤ x ≤ 1
x − 1 ≤ y ≤ 1 − x
En la figura 14.46b se ve que los límites o cotas de R son 0 ≤ x ≤ 1 y x 1 ≤ y ≤ 1 x.
Por lo que la integral será
1
S 0
1
0
1
1
0 1 x2 4x2 x 12 4x 2 dx
0
1x
x1
2 4x 2 dy dx
y2 4x 2 1x
x1
dx
22 4x 2 2x2 4x 2 dx
Tablas de integración (apéndice B).
Fórmula 26 y regla de la potencia.
1 2
x
x2 4x 2 ln2x 2 4x 2 2 4x2 32
6 1 0
−1
y = x − 1
6 ln2 6 6 ln 2 1 2 1.618.
3
b)
Figura 14.46
Paraboloide:
z = 1 + x 2 + y 2
R: x 2 + y 2 ≤ 1
x
Figura 14.47
2
z
R
1 1
y
EJEMPLO 3
Cambio de variables a coordenadas polares
Hallar el área de la superficie del paraboloide z 1 x 2 y 2 que se encuentra sobre el
círculo unidad o unitario, como se muestra en la figura 14.47.
Solución Como f x x, y 2x y f y x, y 2y, se tiene
S R 1 f x x, y 2 f y x, y 2 dA R 1 4x2 4y 2 dA.
Se puede pasar a coordenadas polares haciendo x r cos y y r sen sin . Entonces, como
la región R está acotada por 0 ≤ r ≤ 1 y 0 ≤ ≤ 2, se tiene
S
0
55 1
12
0
2
1
0 0
2
2
55 1
5.33.
1
12 1 4r2 32 1 0
55 1
12
6
1 4r 2 r dr d
2
0
d
d