Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

880 CAPÍTULO 12 Funciones vectoriales
84. Rapidez Cuanto menor es la curvatura en una curva de una
carretera, mayor es la velocidad a la que pueden ir los automóviles.
Suponer que la velocidad máxima en una curva es
inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la curvatura. Un
automóvil que recorre la trayectoria y 1 3 x3 ( x y y medidos en
millas) puede ir con seguridad a 30 millas por hora en 1, 1 3.
¿Qué tan rápido puede ir en 3 2 , 9 8?
85. Sea C una curva dada por y fx. Sea K la curvatura K 0
en el punto Px 0 , y 0 y sea
z 1 fx 0 2
.
fx 0
Mostrar que las coordenadas , del centro de curvatura en P
son , x 0 fx 0 z, y 0 z.
86. Usar el resultado del ejercicio 85 para hallar el centro de curvatura
de la curva en el punto dado.
a) y e x , 0, 1 b) y x2
c) y x 2 ,
87. Se da una curva C por medio de la ecuación polar r f.
Mostrar que la curvatura K en el punto r, es
K 2r 2 rr r 2
r 2 r 2 32 .
Sugerencia: Representar la curva por r r cos i r sen j.]
88. Usar el resultado del ejercicio 87 para hallar la curvatura de cada
una de las curvas polares.
a) r 1 sen sin b) r c) r a sin sen
d) r e
89. Dada la curva polar r e a, a > 0, hallar la curvatura K y determinar
el límite de K cuando a) y b) a → .
90. Mostrar que la fórmula para la curvatura de una curva polar
r f dada en el ejercicio 87 se reduce a K 2r para la
curvatura en el polo.
En los ejercicios 91 y 92, usar el resultado del ejercicio 90 para
hallar la curvatura de la curva rosa en el polo.
91. r 4 sen sin 2
92. r 6 cos 3
93. Para la curva suave dada por las ecuaciones paramétricas
x ft y y gt, demostrar que la curvatura está dada por
K ftgt gtft
ft 2 gt 2 32 .
94. Usar el resultado del ejercicio 93 para encontrar la curvatura K
de la curva representada por ecuaciones paramétricas xt t 3 y
yt 1 2 t 2 . Usar una herramienta de graficación para representar
K y determinar toda asíntota horizontal. Interpretar las asíntotas
en el contexto del problema.
95. Usar el resultado del ejercicio 93 para encontrar la curvatura K
de la cicloide representada por las ecuaciones paramétricas
x a sen sin
y
2 , 1, 1 2
→
y a1 cos .
¿Cuáles son los valores mínimo y máximo de K?
96. Usar el teorema 12.10 para encontrar a T y a N de cada una de las
curvas dadas por las funciones vectoriales.
a) rt 3t 2 i 3t t 3 j b) rt ti t 2 j 1 2 t 2 k
0, 0
97. Fuerza de rozamiento o de fricción Un vehículo de 5 500
libras va a una velocidad de 30 millas por hora por una glorieta
de 100 pies de radio. ¿Cuál es la fuerza de fricción o de rozamiento
que debe ejercer la superficie de la carretera en los
neumáticos para impedir que el vehículo salga de curso?
98. Fuerza de rozamiento o de fricción Un vehículo de 6 400
libras viaja a 35 millas por hora en una glorieta de 250 pies de
radio. ¿Cuál es la fuerza de fricción o de rozamiento que debe
ejercer la superficie de la carretera en los neumáticos para
impedir que el vehículo salga de curso?
99. Verificar que la curvatura en cualquier punto x, y de la gráfica
de y cosh x es 1y 2 .
100. Usar la definición de curvatura en el espacio K T(s)
r(s), para verificar cada una de las fórmulas siguientes.
a)
b)
K Tt
rt
K rt rt
rt 3
c) K
at Nt
vt 2
¿Verdadero o falso? En los ejercicios 101 a 104, determinar si la
declaración es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué o
dar un ejemplo que demuestre que es falsa.
101. La longitud de arco de una curva en el espacio depende de la
parametrización.
102. La curvatura de un círculo es igual a su radio.
103. La curvatura de una recta es 0.
104. La componente normal de la aceleración es función tanto de la
velocidad como de la curvatura.
Leyes de Kepler En los ejercicios 105 a 112, se pide verificar las
leyes de Kepler del movimiento planetario. En estos ejercicios,
suponer que todo planeta se mueve en una órbita dada por la
función vectorial r. Sean r r , G la constante gravitatoria
universal, M la masa del Sol y m la masa del planeta.
105. Demostrar que r r r dr
dt .
106. Usando la segunda ley del movimiento de Newton, F ma, y
la segunda ley de la gravitación de Newton, F GmMr 3 r,
mostrar que a y r son paralelos, y que rt rt L es un
vector constante. Por tanto, rt se mueve en un plano fijo, ortogonal
a L.
107. Demostrar que
r
d
dt r r 1 r 3 r r r.
108. Mostrar que es un vector constante.
GM L r r e
109. Demostrar la primera ley de Kepler: todo planeta describe una
órbita elíptica con el Sol como uno de sus focos.
110. Suponer que la órbita elíptica r ed1 e cos está en el
plano xy, con L a lo largo del eje z. Demostrar que
L r 2 ddt.
111. Demostrar la segunda ley de Kepler: todo rayo del Sol a un
planeta barre áreas iguales de la elipse en tiempos iguales.
112. Demostrar la tercera ley de Kepler: el cuadrado del periodo de
la órbita de un planeta es proporcional al cubo de la distancia
media entre el planeta y el Sol.