Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 13.5 Regla de la cadena para funciones de varias variables 929
EJEMPLO 5
Regla de la cadena para una función de tres variables
Hallar ws y wt si s 1 y t 2, dada la función
w xy yz xz
donde x s cos t, y s sen t y z t.
Solución
Por extensión del teorema 13.7, se tiene
w
s w x
x s w y
y s w z
z s
y zcos t x zsin sent y x0
y zcos t x zsin sen t.
Cuando s 1 y t 2, se tiene x 1, y 0 y z 2. Así,
1 20 2. Y
ws 0 21
w
t w x
x t w y
y t w z
z t
y zs sen sin t x zs cos t y x1
y si s 1 y t 2, se sigue que
w
t 0 20 1 21 0 11
2 2.
Derivación o diferenciación parcial implícita
Esta sección concluye con una aplicación de la regla de la cadena para determinar la
derivada de una función definida implícitamente. Supóngase que x y y están relacionadas
por la ecuación Fx, y 0, donde se supone que y f x es función derivable de x. Para
hallar dydx, se podría recurrir a las técnicas vistas de la sección 2.5. Sin embargo, se verá
que la regla de la cadena proporciona una útil alternativa. Si se considera la función dada
por
w Fx, y Fx, f x
se puede aplicar el teorema 13.6 para obtener
dw
dx F xx, y dx
dx F yx, y dy
dx .
Como w Fx, y 0 para toda x en el dominio de f, se sabe que dwdx 0 y se tiene
F x x, y dx
dx F yx, y dy
dx 0.
Ahora, si F y x, y 0, se puede usar el hecho de que dxdx 1 para concluir que
dy
dx F xx, y
F y x, y .
Un procedimiento similar puede usarse para encontrar las derivadas parciales de funciones
de varias variables definidas implícitamente.