Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 15.8 Teorema de Stokes 1133
EJEMPLO 1
Aplicación del teorema de Stokes
6
z
S: 2x + 2y + z = 6
Sea C el triángulo orientado situado en el plano 2x 2y z 6, como se muestra en la
figura 15.64. Evaluar
F dr C
donde Fx, y, z y 2 i zj xk.
C 2
C 3
N (hacia arriba)
R
3
3
C 1
x x + y = 3
Figura 15.64
y
Solución Usando el teorema de Stokes, se empieza por hallar el rotacional de F.
i j k
curl
rot F
i j 2yk
x y z
y 2 z x
Considerando z 6 2x 2y gx, y, se puede usar el teorema 15.11 para un vector
normal dirigido hacia arriba para obtener
C
F dr Scurl F N dS
R i j 2yk g x x, yi g y x, yj k dA
R i j 2yk 2i 2j k dA
3 3y
2y 4 dx dy
00
3
2y 2 10y 12 dy
0
2y3
3 5y2 12y
3
9.
rot F
0
Trátese de evaluar la integral de línea del ejemplo 1 directamente, sin usar el teorema
de Stokes. Una manera de hacerlo es considerar a C como la unión de C 1
, C 2
y C 3
, como
sigue.
C 1 : r 1 t 3 ti tj,
C 2 : r 2 t 6 tj 2t 6k,
C 3 : r 3 t t 6i 18 2tk,
El valor de la integral de la línea es
C
F dr C 1
F r 1t dt C 2
F r 2t dt C 3
F r 3t dt
3
0
9 9 9
9.
6
t 2 dt 3
0 ≤ t ≤ 3
3 ≤ t ≤ 6
6 ≤ t ≤ 9
9
2t 6 dt 2t 12 dt
6