Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 11.4 El producto vectorial de dos vectores en el espacio 797
v × w
Si los vectores 11.4 u, v y The w no Cross están Product en el of mismo Two Vectors plano, in el Space triple producto 797 escalar
u v w) puede usarse para determinar el volumen del paralelepípedo (un poliedro, en
el que todas sus caras son paralelogramos) con u, v × y ww
como aristas adyacentes, como seIf the vectors
v × w
If muestra the vectors en la u, figura v, and 11.41. w do Esto not se lie establece in the same en el plane, teorema the siguiente. triple scalar product u v w) can b
u
u v w) can be used to determine the volume of the parallelepiped (a polyhedron, all of whose faces
all of whose faces are parallelograms) with u, v, and w as adjacent edges, as shown in Figure 11.41. Thi
Figure 11.41.
TEOREMA
This
11.10
is established
INTERPRETACIÓN
in the following
GEOMÉTRICA
theorem.
DEL TRIPLE PRODUCTO ESCALAR
u
u
El volumen V de un paralelepípedo con vectores u, v y w como aristas adyacentes THEOREM 11.
THEOREM está dado 11.10 por
w
GEOMETRIC PROPERTY OF THE TRIPLE SCALAR PRODUCT
v
The volume V
The volume V V u of a v parallelepiped w . with vectors u, v, and w as adjacent edges
is given by
⏐proy v×w u ⏐
is given by
w
v
V u
Área wde la base v v w
V u v
En
w
la
.
Volumen de paralelepípedo
DEMOSTRACIÓN figura 11.41 se observa ⎜⎜proj
que v × w u⎜⎜
⎜⎜proj v × w
u⎜⎜
u v w
Area of base v w
Area of base Figura v11.41
w
v w área de la base
Volume of parallelepiped u v w PROOF In Figur
Volume of parallelepiped u v w PROOF In Figure 11.41, note that
Figure 11.41
y
v w ar
Figure 11.41
v w area of base
proy proj altura de paralelepípedo.
and
vw u
and
proj
Por consiguiente, el volumen es
v w u
proj v w u height of parallelepiped.
Therefore, the vol
Therefore,
VV the
(altura)(área heightarea
volume is
de la of base) base proy proj
vw uv w
V height
u v w
V height area of base proj v
w u v w v w
v w
u v w
v w
v
w u v w .
u v w .
EJEMPLO 5 Cálculo de un volumen por medio
EXAMPLE 5
EXAMPLE 5 Volume
del triple
by the
producto
Triple Scalar
escalar
Product
z
Find the volum
z
Find Calcular the volume el volumen of the del parallelepiped paralelepípedo mostrado shown (3, −5, 1) in en Figure la (3, figura 1, 1) 11.42 2
having que tiene u 3i 5j k
z
u
(3, −5, 1) (3, 1, 1) 2
u 3i 5j k, v 2j 2k y and w w 3i 3i j j k como k as adjacent aristas adyacentes. edges. 1
(3, u −5, 1) (3, 1, 1)
Solution By The
2
u 1
Solution By Theorem 11.10, you have
w
1
Solución Por el teorema 11.10, se tiene
3 y
V u v
w
v
3 y
V u v
V u v w
w Triple scalar product
v w
x 6
3 5
Triple producto escalar.
x 6
v 3 y 3 5 1
1
(0, 2, −2)
0 2
x 6 (0, 2, −2)
0 32
52
1
The parallelepiped has a volume of 36.
3 1
(0, 2, −2)
The parallelepiped has a volume of 36.
3 01
21
2
Figure 11.42
Figure 11.42 El paralelepípedo tiene un volumen de 36
3 1
3 2 3
2
1
2 1 2
1
5 0 2
1
5 3
0 1 2
1
1 0 3 2 2
1
Figura 11.42
3
3
1 0 1 2
1
34 5
34 56 1 6
3
36.
36. 34 56 16
36.
A natural con
A natural consequence of Theorem 11.10 is that the volume of the parallelepiped is 0 if and only if t
is 0 if and only if the three vectors are coplanar. That is, if the vectors u u
Una consecuencia natural del teorema 11.10 es que el volumen 1 , u 2 , u
del 3 , v v 1 , v 2 , v 3 , a
v v
paralelepípedo
1 , v 2 , v
es 3 , and w w
0 si y sólo 1
, w
si 2 , w
los 3 have the same initial point, they lie in the same plane if and only
plane if and only if
tres vectores son coplanares. Es decir, si los vectores
u u 1 , u 2 , u 3 , v v y w w tienen el mismo punto inicial, se
encuentran en el mismo plano si y sólo si
1 , v 2 , v 3 ,
u 1 u 2 u 3
u v w v 1 v 2 v
3
1
, w 2 , w 3
u 1 u 2 u 3
u v w
u v w v 1 v 2 v 3 0.
w 1 w 2 w 3
3 0.
w 1 w 2 w