Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

A-30 Soluciones de los ejercicios impares
Answers to Odd-Numbered Exercises
A123
z
59. 61.
( 2, − 2, 4)
( − 2, 2, 4)
63.
−3
r t 1 sen t i 2 cos tj 1 sen t k y
r t 1 sen t i 2 cos tj 1 sen t k
65.
z
x
x
69. i j 71. 0 73. i j k
75. , 0 , 0, 77. 1, 1
79. 2 n , 2 n , n es un entero.
81. a)
b)
c)
s t
s t
s t
t 2 i
t 2
t 2 i
t
2 i
t
3 j
t
2 j
t
3 j
tk
3 k
tk
83. Las respuestas varían. Ejemplo de respuesta:
x
−3
3
x
2
3
4
7
−2
2
6
−1
1
2
3
x
5
3
−3
3
z
3
2
1
−1
5
(0, 0, 2)
z
−1
1 2 3
r t ti tj 2t 2 k
(2, 2, 0)
3
−2
2
16
12
8
4
4
z
y
r t ti tj 4 t 2 k
67. Sea x t, y 2t cos t y z 2t sen t. Entonces
y 2 z 2 2t cos t 2 2t sen t 2 4t 2 cos 2 t
4t 2 cos 2 t sen 2 t 4t 2 .
Porque x t, y 2 z 2 4x 2 .
4
8 12 16
y
y
y
y
−3
3
x
r t 1.5 cos ti 1.5 sen tj
0 t 2
4
z
r t 2 sen ti 2 cos tj
4 sen 2 tk
3
y
4t 2 sen 2 t
1 tk,
85 a87. Demostraciones 89. Sí; sí 91. No necesariamente
93. Verdadero 95. Verdadero
Sección 12.2 (página 848)
1
1. r 2 4i 2j
3. r 2 4i 2 j
r 2 4i j 1
r 2 4i
r′
r
x
2 4 6 8
2
−2
−4
r t 0 es tangente a la
r t 0 es tangente a la
curva en t 0 .
curva en t 0 .
5. r 2 j
7. r 0 i j
r 2 i
r 0 i 2j
r t
t 0 .
es tangente a la
r t 0 es tangente a la
1 2 3
0
curva en t 0 .
curva en
9. r 3 2
2j
z
3
3π
0, −2,
2 k ) 2π
r
r′
3
2i k
2
11. 3t 2 i 3j 13. 2 sen ti 5 cos tj
15. 6i 14tj 3t 2 k 17. 3a sen t cos 2 ti 3a sen 2 t cos tj
19. e t i 5te t 5e t k
21. sen t t cos t, cos t t sen t, 1
23. a) 3t 2 i tj b) 6ti j c) 18t 3 t
25. a) 4 sen ti 4 cos tj b) 4 cos ti 4 sen tj c) 0
27. a)
1
ti j 2 t 2 k b) i tk c) t 3 2 t
29. a) t cos t, t sen t, 1
b) cos t t sen t, sen t t cos t, 0 c) t
31.
r 1 4 1
r 1 4 4 2 1
2 i 2 j k
r 1 4 1
r 1 4 2
4
4
2 2 i 2 2 j 4k
x
4
2
y
r′
r′
⎜⎜r′⎜⎜
r″
⎜⎜r″⎜⎜
(4, 2)
y
(0, 1)
r
z
1
r′
x
y
)
x
−2
2
1
3
2
1
y
y
r
r π
r
2 1 2
(4, 1 2
(1, 1)
r ′
y
(
4 j
x
x