Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

Solución de problemas 883
SP
Solución de problemas
1. La espiral de Cornu está dada por
t
xt cos u 2
y
0
La espiral mostrada en la figura fue trazada sobre el intervalo
≤ t ≤ .
t
yt sin u 2
0 2 du.
4. Repetir el ejercicio 3 si el bombardero está orientado en dirección
opuesta a la del lanzamiento, como se muestra en la figura.
4 000
3 200
1 600
Cañón
y
Proyectil
θ
5 000
Bomba
x
2 du sen sen
5. Considerar un arco de la cicloide
Generada con Mathematica
a) Hallar la longitud de arco de esta curva desde t 0 hasta
t a.
b) Hallar la curvatura de la gráfica cuando t a.
c) La espiral de Cornu la descubrió James Bernoulli. Bernoulli
encontró que la espiral tiene una relación interesante entre
curvatura y longitud del arco. ¿Cuál es esta relación?
2. Sea T la recta tangente en el punto Px, y a la gráfica de la curva
x 23 y 23 a 23 , a > 0, como se observa en la figura. Mostrar
que el radio de curvatura en P es el triple de la distancia del origen
a la recta tangente T.
y
r sin i 1 cos j,
0 2
que se muestra en la figura. Sea s() la longitud de arco desde el
punto más alto del arco hasta el punto (x(), y()), y sea ()
1
el radio de curvatura en el punto (x(), y()).
K
Mostrar que s y están relacionados por la ecuación s 2 2
16. (Esta ecuación se llama ecuación natural de la curva.)
y
(x( θ), y( θ))
a
P(x, y)
π
2π
x
−a
−a
3. Un bombardero vuela horizontalmente a una altitud de 3 200 pies
con una velocidad de 400 pies por segundo cuando suelta una
bomba. Un proyectil se lanza 5 segundos después desde un cañón
orientado hacia el bombardero y abajo a 5 000 pies del punto
original del bombardero, como se muestra en la figura. El proyectil
va a interceptar la bomba a una altitud de 1 600 pies.
Determinar la velocidad inicial y el ángulo de inclinación del
proyectil. (Despreciar la resistencia del aire.)
3 200
4 000
y
a
T
x
6. Considere la cardioide r 1 cos , 0 ≤ ≤ 2, que se
muestra en la figura. Sea s la longitud de arco desde el punto
2, de la cardioide hasta el punto r, , y sea 1 el
K
radio de curvatura en el punto r, . Mostrar que s y están relacionados
por la ecuación s 2 92
16. (Esta ecuación se llama
ecuación natural de la curva.)
(2, π)
(r, θ)
π
2
1
0
1 600
Cañón
θ
Bomba
Proyectil
5 000
x
7. Si rt es una función no nula y derivable en t, demostrar que
d
dt rt 1 rt rt.
rt