Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

1084 CAPÍTULO 15 Análisis vectorial
En el ejemplo 1, obsérvese que el campo vectorial Fx, y 1 es conservativo
porque donde fx, y 1 2 xyi 1 4 x2 j
Fx, y fx, y,
4 x2 y. En tales casos, el teorema siguiente
establece que el valor de C F dr está dado por
F dr fx1, y1 fx0, y0
C
1 4 0
1 4 .
TEOREMA 15.5
TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS INTEGRALES DE LÍNEA
NOTA El teorema fundamental de
las integrales de línea es similar al teorema
fundamental de cálculo (sección
4.4) que establece que
b
fx dx Fb Fa
a
donde Fx f x.
■
Sea C una curva suave a trozos contenida en una región abierta R y dada por
rt xti ytj,
a ≤ t ≤ b.
Si Fx, y Mi Nj es conservativo en R, y M y N son continuas en R, entonces,
F dr f dr fxb, yb fxa, ya
C
C
donde f es una función potencial de F. Es decir, Fx, y fx, y.
DEMOSTRACIÓN Esta demostración es sólo para una curva suave. Para curvas suaves a trozos
(o por partes), el procedimiento se lleva a cabo por separado para cada trozo suave.
Como Fx, y fx, y f x x, yi f y x, yj, se sigue que
b
F dr C a
b
a
F dr
dt dt
f xx, y dx
dt f yx, y dy
dt dt
y, por la regla de la cadena (teorema 13.6), se tiene
b
d
F dr fxt, yt dt C a dt
f xb, yb fxa, ya.
El último paso es una aplicación del teorema fundamental del cálculo.
En el espacio, el teorema fundamental de las integrales de línea adopta la forma siguiente.
Sea C una curva suave a trozos contenida en una región abierta Q y dada por
rt xti ytj ztk,
a ≤ t ≤ b.
Si Fx, y, z Mi Nj Pk es conservativo y M, N y P son continuas, entonces
F dr f dr C
C
f xb, yb, zb f xa, ya, za
donde Fx, y, z fx, y, z.
El teorema fundamental de las integrales de línea establece que si el campo vectorial
F es conservativo, entonces la integral de línea entre dos puntos cualesquiera es simplemente
la diferencia entre los valores de la función potencial ƒ en estos puntos.