Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

892 CAPÍTULO 13 Funciones de varias variables
EJEMPLO 6
Superficies de nivel
Describir las superficies de nivel de la función
f x, y, z 4x 2 y 2 z 2 .
Solución
Cada superficie de nivel tiene una ecuación de la forma
z
Superficies de nivel:
4x 2 + y 2 + z 2 = c
c = 4
4x 2 y 2 z 2 c.
Ecuación de una superficie de nivel.
Por tanto, las superficies de nivel son elipsoides (cuyas secciones transversales paralelas al
plano yz son círculos). A medida que c aumenta, los radios de las secciones transversales
circulares aumentan según la raíz cuadrada de c. Por ejemplo, las superficies de nivel correspondientes
a los valores c 0, c 4 y c 16 son como sigue.
x
Figura 13.16
c = 0
y
c = 16
4 x 2 y 2 z 2 0 Superficie de nivel para c 0 (un solo punto).
x 2
Superficie de nivel para c 4 (elipsoide).
1 y2
4 z2
4 1
x 2
Superficie de nivel para c 16 (elipsoide).
4 y2
16 z2
16 1
Estas superficies de nivel se muestran en la figura 13.16.
NOTA Si la función del ejemplo 6 representara la temperatura en el punto (x, y, z), las superficies
de nivel mostradas en la figura 13.16 se llamarían superficies isotermas.
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Gráficas por computadora
El problema de dibujar la gráfica de una superficie en el espacio puede simplificarse usando
una computadora. Aunque hay varios tipos de herramientas de graficación tridimensionales,
la mayoría utiliza alguna forma de análisis de trazas para dar la impresión de tres
dimensiones. Para usar tales herramientas de graficación, por lo general se necesita dar la
ecuación de la superficie, la región del plano xy sobre la cual la superficie ha de visualizarse
y el número de trazas a considerar. Por ejemplo, para representar gráficamente la
superficie dada por
f x, y x 2 y 2 e 1x2 y 2
f(x, y) = (x 2 + y 2 )e 1 − x2 − y 2
z
x
Figura 13.17
y
se podrían elegir los límites siguientes para x, y y z.
3 ≤ x ≤ 3
3 ≤ y ≤ 3
0 ≤ z ≤ 3
Límites para x.
Límites para y.
Límites para z.
La figura 13.17 muestra una gráfica de esta superficie generada por computadora utilizando
26 trazas paralelas al plano yz. Para realizar el efecto tridimensional, el programa utiliza
una rutina de “línea oculta”. Es decir, comienza dibujando las trazas en primer plano
(las correspondientes a los valores mayores de x), y después, a medida que se dibuja una
nueva traza, el programa determina si mostrará toda o sólo parte de la traza siguiente.
Las gráficas en la página siguiente muestran una variedad de superficies que fueron
dibujadas por una computadora. Si se dispone de un programa de computadora para dibujo,
podrán reproducirse estas superficies.