Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

936 CAPÍTULO 13 Funciones de varias variables
z
(x, y, f(x, y))
El gradiente de una función de dos variables
El gradiente de una función de dos variables es una función vectorial de dos variables.
Esta función tiene múltiples aplicaciones importantes, algunas de las cuales se describen
más adelante en esta misma sección.
DEFINICIÓN DE GRADIENTE DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES
x
∇f(x, y)
(x, y)
El gradiente de f es un vector en el plano xy
Figura 13.48
y
Sea z f(x, y una función de x y y tal que f x y f y existen. Entonces el gradiente
de f, denotado por fx, y, es el vector
fx, y f x x, yi f y x, yj.
f se lee como “nabla f ”. Otra notación para el gradiente es grad fx, y. En la
figura 13.48 hay que observar que para cada x, y, el gradiente fx, y es un vector
en el plano (no un vector en el espacio).
NOTA El símbolo no tiene ningún valor. Es un operador de la misma manera que ddx es un
operador. Cuando opera sobre f x, y, produce el vector f x, y.
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EJEMPLO 3
Hallar el gradiente de una función
Hallar el gradiente de fx, y y ln x xy 2 en el punto (1, 2).
Solución Utilizando
f x x, y y y f y x, y ln x 2xy
x y 2
se tiene
fx, y
y
x y 2 i ln x 2xyj.
En el punto (1, 2), el gradiente es
f1, 2
2
1 22 i ln 1 212 j
6i 4j.
Como el gradiente de f es un vector, se puede expresar la derivada direccional de f en
la dirección de u como
D u fx, y f x x, yi f y x, yj cos i sen sin j.
En otras palabras, la derivada direccional es el producto escalar del gradiente y el vector
dirección. Este útil resultado se resume en el teorema siguiente.
TEOREMA 13.10
FORMA ALTERNATIVA DE LA DERIVADA DIRECCIONAL
Si f es una función diferenciable de x y y, entonces la derivada direccional de f en
la dirección del vector unitario u es
D u fx, y f(x, y u.