Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

1136 CAPÍTULO 15 Análisis vectorial
EJEMPLO 3
Una aplicación del rotacional
z
Un líquido es agitado en un recipiente cilíndrico de radio 2, de manera que su movimiento
se describe por el campo de velocidad
Fx, y, z yx 2 y 2 i xx 2 y 2 j
como se muestra en la figura 15.68. Hallar
S (rot curl F) F· N N dS dS
x
2
Figura 15.68
2
y
donde S es la superficie superior del recipiente cilíndrico.
Solución El rotacional de F está dado por
i
j
curl rot F
x
y
yx 2 y 2 xx 2 y 2
Haciendo N k, se tiene
k
z
0
3x 2 y 2 k.
S curl rot F F N dS R 3x 2 y 2 dA
2
3rr dr d
0 0
r 3 2
0 0
8 d
0
2
2
2
16.
d
NOTA Si rot F 0 en toda la región Q, la rotación de F con respecto a cada vector unitario normal
N es 0. Es decir, F es irrotacional. Por lo visto con anterioridad, se sabe que ésta es una característica
de los campos vectoriales conservativos.
■
Resumen de fórmulas de integración
Teorema Fundamental fundamental Theorem del of Calculus: cálculo:
b
Fx dx Fb Fa
a
Fundamental Teorema fundamental Theorem de of las Line integrales Integrals: de línea:
F dr f dr f xb, yb f xa, ya
C
C
Teorema Green's Theorem: de Green:
M dx N dy R N
C
x M
y dA CF T ds C
C
F N ds R div F dA
F dr R curl F kdA
rot F
Teorema Divergence de divergencia: Theorem:
div F dV
S F N dS
Q
Teorema Stokes's Theorem: de Stokes:
F dr S curl rot F F N dS C