Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 12.5 Longitud de arco y curvatura 877
Resumen sobre velocidad, aceleración y curvatura
Sea C una curva (en el plano o en el espacio) dada por la función de posición
rt xti ytj
rt xti ytj ztk.
Curva en el plano.
Curva en el espacio.
Vector velocidad, rapidez y
vector aceleración:
vt rt
vt ds
dt rt
at rt a T Tt a N Nt
Vector velocidad.
Rapidez.
Vector aceleración.
Vector unitario tangente y vector
unitario normal principal:
Componentes de la aceleración:
Fórmulas para la curvatura en
el plano:
Fórmulas para la curvatura en
el plano o en el espacio:
Tt rt
rt
a N a N
K Tt
rt rt rt
rt 3
K
at Nt
vt 2
y
a T a T v a
v
v a
v
K
y
1 y 2 32
K Ts rs
Nt Tt
Tt
d 2 s
dt 2
a 2 a T 2 K
ds
dt 2
C dada por .
y fx
K xy yx
x 2 y 2 32
C dada por x xt, y yt.
s es el parámetro longitud de arco.
t es el parámetro general.
Las fórmulas con productos vectoriales aplican sólo a curvas en el espacio.
12.5 Ejercicios
En los ejercicios 1 a 6, dibujar la curva plana y hallar su longitud
en el intervalo dado.
1. r t ti 3tj, 0, 4 2. r t t i t 2 j, 0, 4
3. r t t 3 i t 2 j, 0, 2 4. r t t 1 i t 2 j,
5. r t a cos 3 t i a sen 3 tj, 0, 2
6. r t a cos t i a sen tj, 0, 2
7. Movimiento de un proyectil Una pelota de béisbol es golpeada
desde 3 pies sobre el nivel del suelo a 100 pies por segundo y con
un ángulo de 45° con respecto al nivel del suelo.
a) Hallar la función vectorial de la trayectoria de la pelota de
béisbol.
b) Hallar la altura máxima.
c) Hallar el alcance.
d) Hallar la longitud de arco de la trayectoria.
0, 6
8. Movimiento de un proyectil Un objeto se lanza desde el nivel
del suelo. Determinar el ángulo del lanzamiento para obtener a) la
altura máxima, b) el alcance máximo y c) la longitud máxima de
la trayectoria. En el inciso c), tomar v 0 96 pies por segundo.
En los ejercicios 9 a 14, dibujar la curva en el espacio y hallar su
longitud sobre el intervalo dado.
Función
9. r t t i 4t j 3t k
10. r t i t 2 j t 3 k
Intervalo
0, 1
0, 2
11. r t 4t, cos t, sen t
0, 3 2
12. r t 2 sen t, 5t, 2 cos t
0,
13. r t a cos ti a sen tj bt k
0, 2
14. r t cos t t sen t, sen t t cos t, t 2 0, 2