Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

938 CAPÍTULO 13 Funciones de varias variables
x
∇f(x, y)
(x, y)
z
Máximo
incremento
(x, y, f(x, y))
El gradiente de f es un vector en el plano xy
que apunta en dirección del máximo incremento
sobre la superficie dada por z fx, y.
Figura 13.50
y
DEMOSTRACIÓN
tiene
Si fx, y 0, entonces en cualquier dirección (con cualquier u), se
Si fx, y 0, sea el ángulo entre fx, y y un vector unitario u. Usando el producto
escalar se puede aplicar el teorema 11.5 para concluir que
y se sigue que el valor máximo de D u fx, y se presentará cuando cos 1. Por tanto,
y el valor máximo de la derivada direccional se tiene cuando u tiene la misma
dirección que fx, y. Este valor máximo de D u fx, y es precisamente
0,
D u fx, y fx, y u
0i 0j cos i sen sin j
0.
D u fx, y fx, y u
fx, y u cos
fx, y cos
fx, y cos fx, y.
De igual forma, el valor mínimo de D u fx, y puede obtenerse haciendo de manera
que u apunte en dirección opuesta a fx, y, como se muestra en la figura 13.50.
Curvas de nivel:
Para visualizar una de las propiedades del gradiente, imaginar a un esquiador que
desciende por una montaña. Si fx, y denota la altitud a la que se encuentra el esquiador,
entonces fx, y indica la dirección de acuerdo con la brújula que debe tomar el
esquiador para seguir el camino de descenso más rápido. (Recuérdese que el gradiente
indica una dirección en el plano xy y no apunta hacia arriba ni hacia abajo de la ladera de
la montaña.)
Otra ilustración del gradiente es la temperatura Tx, y en cualquier punto x, y de una
placa metálica plana. En este caso, Tx, y da la dirección de máximo aumento de temperatura
en el punto x, y, como se ilustra en el ejemplo siguiente.
T(x, y) = 20 − 4x 2 − y 2 (2, −3)
5
y
EJEMPLO 5
Hallar la dirección de máximo incremento
La temperatura en grados Celsius en la superficie de una placa metálica es
Tx, y 20 4x 2 y 2
donde x y y se miden en centímetros. ¿En qué dirección a partir de (2, 3) aumenta más
rápido la temperatura? ¿Cuál es la tasa o ritmo de crecimiento?
x
−3
3
−5
La dirección del máximo incremento de la
temperatura en 2, 3 está dada por
16i 6j.
Figura 13.51
Solución El gradiente es
Tx, y T x x, yi T y x, yj
8x i 2y j.
Se sigue que la dirección de máximo incremento está dada por
T2, 3 16i 6j
como se muestra en la figura 13.51, y la tasa de incremento es
T2, 3 256 36
292
17.09 per por centimeter. centímetro.