Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 14.7 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas 1041
x
z
∆ρ
i
ρ i
sen φ i
∆θ
i
ρi ∆ φi
Bloque esférico:
V i i2 sen i i i i
Figura 14.68
y
Integrales triples en coordenadas esféricas
Las integrales triples que involucran esferas o conos son a menudo más fáciles de
calcular mediante la conversión a coordenadas esféricas. Recordar que en la sección 11.7
se vieron las ecuaciones rectangulares para conversión a coordenadas esféricas
x
y
z
En este sistema de coordenadas, la región más simple es un bloque esférico determinado
por
, , : 1 ≤
donde 1 ≥ 0, 2 1 ≤ 2, y 0 ≤ 1 ≤ 2 ≤ , como se muestra en la figura 14.68. Si
, , es un punto en el interior de uno de estos bloques, entonces el volumen del bloque
puede ser aproximado por V 2
sen sin (ver ejercicio 18 en los ejercicios de
solución de problemas de este capítulo).
Utilizando el proceso habitual que comprende una partición interior, una suma y un
límite, se desarrolla la versión siguiente de una integral triple en coordenadas esféricas
para una función continua ƒ en la región sólida Q.
Esta fórmula puede modificarse para emplear diferentes órdenes de integración y se puede
generalizar a regiones con límites o cotas variables.
Como las integrales triples en coordenadas cilíndricas, las integrales triples en coordenadas
esféricas se evalúan empleando integrales iteradas. Como sucede con las coordenadas
cilíndricas, se puede visualizar un orden determinado de integración contemplando
la integral iterada en términos de tres movimientos de barrido, cada uno de los cuales agrega
una dimensión al sólido. Por ejemplo, la integral iterada
2
sin sen
cos
sen sin sin sen
cos .
4 3
0 0 0
≤
2
sin sen
2,
2
2
fx, y, z dV 1
1
Q
1 ≤
d d d
1 ≤
(que se usó en el ejemplo 4) se ilustra en la figura 14.69.
2
1
f
≤
2,
≤
2
sin sen
cos , sen sin sen sin , cos 2
sen sin
d d
d.
Cono: z Esfera:
x 2 + y 2 = z 2 x 2 + y 2 + z 2 = 9
ρ = 3
z
z
θ
ρ
φ
−2
x
2
1
varía desde 0 hasta 3 mientras
se mantienen constantes
Figura 14.69
1
2
y
y
−2
2
1 2
y
x
varía desde 0 hasta 4
mientras se mantiene constante
−2
y
2
1 2
x
varía desde 0 hasta 2
NOTA Cuando la letra griega se emplea en coordenadas esféricas no está relacionada con la densidad.
Es la análoga tridimensional de la r que se utiliza en coordenadas polares. En este texto, en
los problemas en los que se empleen coordenadas esféricas y una función de densidad, se usará un
símbolo diferente para denotar la densidad.
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