Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 12.5 Longitud de arco y curvatura 873
T(t)
∆s
T(t)
∆T
T(t + ∆t)
En el ejemplo 4, la curvatura se encontró aplicando directamente la definición. Esto
requiere que la curva se exprese en términos del parámetro longitud de arco s. El teorema
siguiente da otras dos fórmulas para encontrar la curvatura de una curva expresada en términos
de un parámetro arbitrario t. La demostración de este teorema se deja como ejercicio
[ver ejercicio 100, incisos a) y b)].
C
TEOREMA 12.8
FÓRMULAS PARA LA CURVATURA
Si C es una curva suave dada por rt, entonces la curvatura K de C en t está dada
por
K Tt
rt rt r t
rt 3 .
∆s
T(t)
T(t)
Como rt dsdt, la primera fórmula implica que la curvatura es el cociente de
la tasa o ritmo de cambio del vector tangente T entre la tasa o ritmo de cambio de la longitud
de arco. Para ver que esto es razonable, sea t un número “pequeño”. Entonces,
C
T(t + ∆t)
∆T
Tt Tt t Ttt Tt t Tt
dsdt st t stt st t st T
s .
En otras palabras, para un s dado, cuanto mayor sea la longitud de T, la curva se dobla
más en t, como se muestra en la figura 12.35.
Figura 12.35
EJEMPLO 5
Hallar la curvatura de una curva en el espacio
Hallar la curvatura de la curva definida por rt 2t i t 2 j 1 3 t 3 k.
Solución No se sabe a simple vista si este parámetro representa la longitud de arco, así
es que hay que usar la fórmula K Ttrt.
rt 2i 2t j t 2 k
rt 4 4t 2 t 4 t 2 2
Tt rt
rt 2i 2t j t 2 k
t 2 2
Tt t 2 22j 2tk 2t2i 2t j t 2 k
t 2 2 2
4t i 4 2t 2 j 4tk
t 2 2 2
Tt 16t 2 16 16t 2 4t 4 16t 2
t 2 2 2
2t 2 2
t 2 2 2
Longitud de rt.
2
Longitud de Tt.
t 2 2
Por tanto,
K Tt
Curvatura.
rt 2
t 2 2 2.