Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 13.10 Multiplicadores de Lagrange 971
Para encontrar la hipérbola apropiada se usa el hecho de que dos curvas son tangentes en
un punto si y sólo si sus vectores gradiente son paralelos. Esto significa que f x, y debe
ser un múltiplo escalar de gx, y en el punto de tangencia. En el contexto de los problemas
de optimización con restricciones, este escalar se denota con la letra griega (lambda
minúscula del alfabeto griego).
f x, y gx, y
Al escalar se le conoce como un multiplicador de Lagrange. El teorema 13.19 da las
condiciones necesarias para la existencia de tales multiplicadores.
TEOREMA 13.19
TEOREMA DE LAGRANGE
Sean f y g funciones con primeras derivadas parciales continuas, y tales que f tiene
un extremo en un punto (x 0
, y 0
) sobre la curva suave de restricción gx, y c.
Si gx 0 , y 0 0, entonces existe un número real tal que
f x 0 , y 0 gx 0 , y 0 .
NOTA Se puede demostrar que el
teorema de Lagrange también es válido
para funciones de tres variables,
usando un argumento similar con
superficies de nivel y con el teorema
13.14. ■
DEMOSTRACIÓN Para empezar, se representa la curva suave dada por gx, y c mediante
la función vectorial
rt xti ytj, rt 0
x
y
donde y son continuas en un intervalo abierto I. Se define la función h como
ht f xt, yt. Entonces, como f x 0 , y 0 es un valor extremo de f, se sabe que
ht 0 f xt 0 , yt 0 f x 0 , y 0
es un valor extremo de h. Esto implica que ht 0 0, y, por la regla de la cadena,
ht 0 f x x 0 , y 0 xt 0 f y x 0 , y 0 yt 0 f x 0 , y 0 rt 0 0.
Así, f x 0 , y 0 es ortogonal a rt 0 . Por el teorema 13.12, gx 0 , y 0 también es ortogonal
a rt 0 . Por consiguiente, los gradientes f x 0 , y 0 y gx 0 , y 0 son paralelos y debe existir
un escalar tal que
f x 0 , y 0 gx 0 , y 0 .
El método de los multiplicadores de Lagrange emplea el teorema 13.19 para encontrar
los valores extremos de una función f sujeta a una restricción.
MÉTODO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
NOTA Como se verá en los ejemplos
1 y 2, el método de los multiplicadores
de Lagrange requiere resolver
sistemas de ecuaciones no lineales.
Esto a menudo requiere de alguna
manipulación algebraica ingeniosa. ■
Sean f y g funciones que satisfacen las hipótesis del teorema de Lagrange, y
sea f una función que tiene un mínimo o un máximo sujeto a la restricción
gx, y c. Para hallar el mínimo o el máximo de f, seguir los pasos descritos a
continuación.
1. Resolver simultáneamente las ecuaciones f x, y gx, y y gx, y c
resolviendo el sistema de ecuaciones siguiente.
f x x, y g x x, y
f y x, y g y x, y
gx, y c
2. Evaluar f en cada punto solución obtenido en el primer paso. El valor mayor
da el máximo de f sujeto a la restricción gx, y c, y el valor menor da el
mínimo de f sujeto a la restricción gx, y c.