Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 11.6 Superficies en el espacio 821
En los ejercicios 47 a 52, hallar una ecuación para la superficie
de revolución generada al girar la curva en el plano coordenado
indicado sobre el eje dado.
Ecuación de la curva Plano coordenado Eje de revolución
47. z 2 4y
Plano yz Eje y
48. z 3y
Plano yz Eje y
49. z 2y
Plano yz Eje z
50. 2z 4 x 2 Plano xz Eje x
51. xy 2
Plano xy Eje x
52. z ln y
Plano yz Eje z
En los ejercicios 53 y 54, hallar una ecuación de una directriz
dada la ecuación de su superficie de revolución.
53. x 2 y 2 2z 0 54. x 2 z 2 cos 2 y
Desarrollo de conceptos
55. Dar la definición de un cilindro.
56. ¿Qué es la traza de una superficie? ¿Cómo encuentra una
traza?
57. Identificar las seis superficies cuádricas y dar la forma estándar
de cada una.
64. El conjunto de todos los puntos equidistantes del punto (0, 0, 4)
y del plano xy.
65. Geografía Debido a las fuerzas causadas por su rotación, la
Tierra es un elipsoide oblongo y no una esfera. El radio ecuatorial
es de 3 963 millas y el radio polar es de 3 950 millas. Hallar
una ecuación del elipsoide. (Suponer que el centro de la Tierra
está en el origen y que la traza formada por el plano z 0 corresponde
al ecuador.)
66. Diseño de máquinas La parte superior de un buje de caucho,
diseñado para absorber las vibraciones en un automóvil, es la
superficie de revolución generada al girar la curva z 1 2 y2 1
0 ≤ y ≤ 2 en el plano yz en torno al eje z.
a) Hallar una ecuación de la superficie de revolución.
b) Todas las medidas están en centímetros y el buje es fijo en el
plano xy. Usar el método de capas para encontrar su volumen.
c) El buje tiene un orificio de 1 centímetro de diámetro que pasa
por su centro y en paralelo al eje de revolución. Hallar el volumen
del buje de caucho.
67. Determinar la intersección del paraboloide hiperbólico z =
y 2 b 2 – x 2 a 2 con el plano bx ay z 0. (Suponer a, b > 0.)
68. Explicar por qué la curva de intersección de las superficies
x 2 3y 2 2z 2 2y 4 y 2x 2 6y 2 4z 2 3x 2 se
encuentra en un plano.
Para discusión
58. ¿Qué representa la ecuación z x 2 en el plano xz? ¿Qué
representa en el espacio?
En los ejercicios 59 y 60, usar el método de las capas para encontrar
el volumen del sólido que se encuentra debajo de la superficie
de revolución y sobre el plano xy.
59. La curva z 4x x 2 en el plano xz se gira en torno al eje z.
60. La curva z sen sin y 0 ≤ y ≤ en el plano yz se gira en torno
al eje z.
En los ejercicios 61 y 62, analizar la traza cuando la superficie
z 1 2 x2 1 4 y2
¿Verdadero o falso? En los ejercicios 69 a 72, determinar si la
declaración es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué o
dar un ejemplo que pruebe su falsedad.
69. Una esfera es un elipsoide.
70. La directriz de una superficie de revolución es única.
71. Todas las trazas de un elipsoide son elipses.
72. Todas las trazas de un hiperboloide de una hoja son hiperboloides.
73. Para pensar Abajo se muestran tres tipos de superficies
“topológicas” clásicas. La esfera y el toro tienen “interior” y
“exterior”. ¿Tiene la botella de Klein interior y exterior?
Explicar.
se corta con los planos indicados.
61. Hallar las longitudes de los ejes mayor y menor y las coordenadas
del foco de la elipse generada cuando la superficie es cortada
por los planos dados por
a) z 2 y b) z 8.
62. Hallar las coordenadas del foco de la parábola formada cuando
la superficie se corta con los planos dados por
a) y 4 y b) x 2.
En los ejercicios 63 y 64, hallar una ecuación de la superficie que
satisface las condiciones e identificar la superficie.
63. El conjunto de todos los puntos equidistantes del punto (0, 2, 0)
y del plano y 2.
Esfera
Botella de Klein
Toro
Botella de Klein