Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 13.1 Introducción a las funciones de varias variables 891
z = 100x 0.6 y 0.4
y
z c = 100x 80 000 0.6 y 0.4 c = 160 000
y
2 000 c = 80,000 c = 160,000
2000
1 500
(2 000, 1 000)
1500
1 000
(2000, 1000)
1000
500
500
x
500 1 000 1 500 2 000
(1 000, 500)
x
500 1000 1500 2000
(1000, 500)
Level Figura curves 13.13 (at increments of 10,000)
Figure 13.13
Curvas de nivel (con incrementos de 10 000)
f(x, y, z) = c 3
f(x, y, z) = c 3
f(x, y, z) = c z
f(x, y, z) = c 2 z
f(x, y, z) = c 1
2
f(x, y, z) = c 1
13.1 Introduction to Functions of Several Variables 891
Un ejemplo de función de dos variables utilizada en economía es la función de producción
de Cobb-Douglas. Esta función se utiliza como un modelo para representar el
número One de example unidades of producidas a function al of variar two las variables cantidades used de in trabajo economics y capital. is the Si Cobb- x mide las
unidades Douglas de production trabajo y yfunction. mide las This unidades function de capital, is used el as número a model unidades to represent producidas the
está numbers dado of por units produced by varying amounts of labor and capital. If x measures the
units of labor and
f x, y Cx a y
y 1a measures the units of capital, the number of units produced is
given by
donde C
a son constantes, con 0 < a < 1.
fx, y Cx a y 1 a
EJEMPLO where C and 5 aLa are función constants with de producción 0 < a < 1. de Cobb-Douglas
Un fabricante de juguetes estima que su función de producción es f x, y 100x 0.6 y 0.4 ,
donde EXAMPLE x es el número 5 The de Cobb-Douglas unidades de trabajo Production y y es Function el número de unidades de capital.
Comparar el nivel de producción cuando x 1 000 y y 500 con el nivel de producción
cuando
A toy manufacturer
x 2 000 y y
estimates
1 000.
a production function to be fx, y 100x 0.6 y 0.4 , where
x is the number of units of labor and y is the number of units of capital. Compare the
Solución production Cuando level when x 1 x000 1000 y y and 500, yel nivel 500de with producción the production es level when
x 2000 and y 1000.
ƒ(1 000, 500) 100(1 000 0.6 )(500 0.4 ) 75 786.
Solution When x 1000 and y 500, the production level is
Cuando x 2 000 y y 1 000, el nivel de producción es
f 1000, 500 100 1000
ƒ(2 000, 1 000) 100(2 000 0.6 0.6 500
)(1 0.4 000 0.4 75,786.
) 151 572.
When x 2000 and y 1000, the production level is
Las curvas de nivel de z f x, y se muestran en la figura 13.13. Nótese que al doblar
ambas f 2000, x y y, se 1000 duplica 100 el nivel 2000de 0.6 producción 1000 0.4 (ver 151,572. ejercicio 79).
The level curves of z f x, y are shown in Figure 13.13. Note that by doubling both
Superficies x and y, you double de nivel the production level (see Exercise 79).
El concepto de curva de nivel puede extenderse una dimensión para definir una superficie
de Level nivel. Surfaces Si f una función de tres variables y c es una constante, la gráfica de la ecuación
fThe x, y, concept z c of es a una level superficie curve can de be nivel extended la función by one f, dimension como se to muestra define en a level la figura
13.14. surface. If f is a function of three variables and c is a constant, the graph of the
equation Ingenieros f x, y, y zcientíficos c is a level han desarrollado surface of the mediante function computadoras f, as shown in otras Figure formas 13.14. de ver
funciones With de computers, tres variables. engineers Por ejemplo, and scientists la figura have 13.15 developed muestra other una simulación ways to view computacional
functions que of usa three colores variables. para For representar instance, la Figure distribución 13.15 shows de temperaturas a computer simulation del fluido que
entra that uses en el color tubo. to represent the temperature distribution of fluid inside a pipe fitting.
x
x
y
y
Superficies de nivel de f
Level surfaces of f
Figura 13.14
Figure 13.14
Imagen cortesía de CADFEM GmbH
Una One-way forma coupling común de of ANSYS CFX TM y and ANSYS ANSYS Mechanical
Mechanical for thermal TM stress para analysis análisis de esfuerzos térmicos.
Figura Figure 13.15