Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 15.5 Superficies paramétricas 1105
Vectores normales y planos tangentes
Sea S una superficie paramétrica dada por
ru, v xu, vi yu, vj zu, vk
sobre una región abierta D tal que x, y y z tienen derivadas parciales continuas en D. Las
derivadas parciales de r con respecto a u y v están definidas como
r u x
u
u, vi
y
u
z
u, vj u, vk
u
y
r v x
v
u, vi
y
v
z
u, vj u, vk.
v
Cada una de estas derivadas parciales es una función vectorial que puede interpretarse
geométricamente en términos de vectores tangentes. Por ejemplo, si v v 0 se mantiene
constante, entonces ru, v 0 es una función vectorial de un solo parámetro y define una
curva C 1 que se encuentra en la superficie S. El vector tangente a C 1 en el punto xu 0 , v 0 ,
yu 0 , v 0 , zu 0 , v 0 está dado por
N
(x 0 , y 0 , z 0 )
r v
C2
S
x
Figura 15.40
C 1
z
r u
y
r u u 0 , v 0 x
u u 0 , v 0i y
u u 0 , v 0j z
u u 0 , v 0k
como se muestra en la figura 15.40. De manera similar, si u u 0 se mantiene constante,
entonces r(u 0
, v) es una función vectorial de un solo parámetro y define una curva C 2
que
se encuentra en la superficie S. El vector tangente a C 2
en el punto (x(u 0
, v 0
), y(u 0
, v 0
),
z(u 0
, v 0
)) está dado por
r v u 0 , v 0 x
v u 0 , v 0i y
v u 0 , v 0j z
v u 0 , v 0k.
Si el vector normal r u r v no es 0 para todo u, v en D, se dice que la superficie S es
suave y tendrá un plano tangente. De manera informal, una superficie suave es una superficie
que no tiene puntos angulosos o cúspides. Por ejemplo, esferas, elipsoides y paraboloides
son suaves, mientras que el cono del ejemplo 3 no es suave.
VECTOR NORMAL A UNA SUPERFICIE PARAMÉTRICA SUAVE
Sea S una superficie paramétrica suave
ru, v xu, vi yu, vj zu, vk
definida sobre una región abierta D en el plano uv. Sea u 0 , v 0 un punto en D. Un
vector normal en el punto
x 0 , y 0 , z 0 xu 0 , v 0 , yu 0 , v 0 , zu 0 , v 0
i
x
N r u u 0 , v 0 r v u 0 , v 0 u
x
v
j
y
u
y
v
k
z
u
z
v.
está dado por
NOTA La figura 15.40 muestra el vector normal r u r v . El vector r v r u también es normal a S
y apunta en la dirección opuesta.
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