Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 12.5 Longitud de arco y curvatura 871
EJEMPLO 3
Hallar la función longitud de arco para una recta
4
3
2
1
y
1
r(t) = (3 − 3t)i + 4tj
2
0 ≤ t ≤ 1
El segmento de recta desde (3, 0) hasta
(0, 4) puede parametrizarse usando el
parámetro longitud de arco s.
Figura 12.31
3
x
Hallar la función longitud de arco st para el segmento de recta dado por
rt 3 3ti 4t j,
y expresar r como función del parámetro s. (Ver la figura 12.31.)
Solución Como rt 3i 4j y
rt 3 2 4 2 5
se tiene
t
st ru du
0
t
0
5t.
5 du
0 ≤ t ≤ 1
Usando s 5t (o t s5), se puede reescribir r utilizando el parámetro longitud de arco
como sigue.
rs 3 3 5 si 4 5 s j,
0 ≤ s ≤ 5.
Una de las ventajas de escribir una función vectorial en términos del parámetro longitud
de arco es que rs 1. De este modo, en el ejemplo 3, se tiene
rs 3 5 2
4
5 2 1.
Así, dada una curva suave C representada por r(s, donde s es el parámetro longitud de
arco, la longitud de arco entre a y b es
b
Longitud Length de of arco
rs ds
a
a
b
ds
b a
longitud length of del interval. intervalo.
Además, si t es cualquier parámetro tal que rt 1, entonces t debe ser el parámetro
longitud de arco. Estos resultados se resumen en el teorema siguiente que se presenta sin
demostración.
TEOREMA 12.7 PARÁMETRO LONGITUD DE ARCO
Si C es una curva suave dada por
rs xsi ysj o rs xsi ysj zsk
donde s es el parámetro longitud de arco, entonces
rs 1.
Si t es cualquier parámetro para la función vectorial r tal que rt 1, entonces t
debe ser el parámetro longitud de arco.