Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

898 CAPÍTULO 13 Funciones de varias variables
13.2 Límites y continuidad
■ Entender la definición de un entorno en el plano.
■ Entender y utilizar la definición de límite de una función de dos variables.
■ Extender el concepto de continuidad a una función de dos variables.
■ Extender el concepto de continuidad a una función de tres variables.
Entornos en el plano
En esta sección se estudiarán límites y continuidad de funciones de dos o tres variables. La
sección comienza con funciones de dos variables. Al final de la sección, los conceptos se
extienden a funciones de tres variables.
El estudio del límite de una función de dos variables inicia definiendo el análogo bidimensional
de un intervalo en la recta real. Utilizando la fórmula para la distancia entre dos
puntos x, y y x 0 , y 0 en el plano, se puede definir el entorno de x 0 , y 0 como el disco
con radio > 0 centrado en x 0 , y 0
The Granger Collection
SONYA KOVALEVSKY (1850-1891)
Gran parte de la terminología usada para
definir límites y continuidad de una función
de dos o tres variables la introdujo el
matemático alemán Karl Weierstrass
(1815-1897). El enfoque riguroso de
Weierstrass a los límites y a otros temas en
cálculo le valió la reputación de “padre del
análisis moderno”. Weierstrass era un maestro
excelente. Una de sus alumnas más
conocidas fue la matemática rusa Sonya
Kovalevsky, quien aplicó muchas de las técnicas
de Weierstrass a problemas de la física
matemática y se convirtió en una de las
primeras mujeres aceptada como investigadora
matemática.
x, y:x x 0 2 y y 0 2 <
Disco abierto.
como se muestra en la figura 13.18. Cuando esta fórmula contiene el signo de desigualdad
menor que, <, al disco se le llama abierto, y cuando contiene el signo de desigualdad
menor o igual que, ≤, al disco se le llama cerrado. Esto corresponde al uso del < y
del ≤ al definir intervalos abiertos y cerrados.
y
Un disco abierto
Figura 13.18
δ
(x 0 , y 0 )
x
y
R
Punto
frontera
Punto
interior
Frontera de R
La frontera y los puntos interiores de una región R
Figura 13.19
x
Un punto x 0 , y 0 en una región R del plano es un punto interior de R si existe un
entorno d de x 0 , y 0 que esté contenido completamente en R, como se muestra en la figura
13.19. Si todo punto de R es un punto interior, entonces R es una región abierta. Un punto
x 0 , y 0 es un punto frontera de R si todo disco abierto centrado en x 0 , y 0 contiene puntos
dentro de R y puntos fuera de R. Por definición, una región debe contener sus puntos interiores,
pero no necesita contener sus puntos frontera. Si una región contiene todos sus puntos
frontera, la región es cerrada. Una región que contiene algunos pero no todos sus puntos
frontera no es ni abierta ni cerrada.
PARA MAYOR INFORMACIÓN Para más información acerca de Sonya Kovalevsky, ver el
artículo “S. Kovalevsky: A Mathematical Lesson” de Karen D. Rappaport en The American
Mathematical Monthly.