Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

796 CAPÍTULO 11 Vectores y la geometría del espacio
M
En física, el producto vectorial puede usarse para medir el momento M de una fuerza
F respecto a un punto P, como se muestra en la figura 11.39. Si el punto de aplicación
de la fuerza es Q, el momento de F respecto a P está dado por
M PQ \ F.
Momento de F respecto a P.
P
F
PQ
Q
La magnitud del momento M mide la tendencia del vector PQ \
al girar en sentido contrario
al de las manecillas del reloj (usando la regla de la mano derecha) respecto a un eje en dirección
del vector M.
El momento de F respecto a P
Figura 11.39
x
P
z
60°
F
Una fuerza vertical de 50 libras se aplica en
el punto Q
Figura 11.40
Q
y
EJEMPLO 4
Una aplicación del producto vectorial
Se aplica una fuerza vertical de 50 libras al extremo de una palanca de un pie de longitud
unida a un eje en el punto P, como se muestra en la figura 11.40. Calcular el momento de
esta fuerza respecto al punto P cuando
60.
Solución Si se representa la fuerza de 50 libras como F 50k y la palanca como
PQ \ cos60j sen sin60k 1 2 j 3
2 k
el momento de F respecto a P está dado por
i j k
M PQ \ F 1 3
0
25i.
2 2
0 0 50
La magnitud de este momento es 25 libras-pie.
Momento de F respecto a P.
NOTA En el ejemplo 4, notar que el momento (la tendencia de la palanca a girar sobre su eje) depende
del ángulo . Cuando el momento es 0. El momento es máximo cuando ■
2,
0.
El triple producto escalar (o producto mixto)
PARA MAYOR INFORMACIÓN
Para ver cómo el producto vectorial se
usa para modelar el momento de un
brazo de robot de un transbordador
espacial, ver el artículo “The Long
Arm of Calculus” de Ethan Berkove y
Rich Marchand en The College
Mathematics Journal.
Dados vectores u, v y w en el espacio, al producto escalar de u y v w
u v w
se le llama triple producto escalar, como se define en el teorema 11.9. La demostración
de este teorema se deja como ejercicio (ver ejercicio 67).
TEOREMA 11.9
EL TRIPLE PRODUCTO ESCALAR
Para u u 1 i u 2 j u 3 k, v v 1 i v 2 j v 3 k, y w w 1 i w 2 j w 3 k, el triple
producto escalar está dado por
u 1 u 2 u 3
u v w v 1 v 2 v . 3
w 1 w 2 w 3
NOTA El valor de un determinante se multiplica por 1 si se intercambian dos de sus filas.
Después de estos dos intercambios, el valor del determinante queda inalterado. Por tanto, los triples
productos escalares siguientes son equivalentes.
u v w v w u w u v
■