Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

944 CAPÍTULO 13 Funciones de varias variables
66. Topografía La superficie de una montaña se modela mediante
la ecuación h(x, y) 5 000 0.001x 2 0.004y 2 . Un montañista
se encuentra en el punto (500, 300, 4 390). ¿En qué dirección
debe moverse para ascender con la mayor rapidez?
67. Topografía La figura muestra un mapa topográfico utilizado
por un grupo de excursionistas. Dibujar las trayectorias de
descenso más rápidas si los excursionistas parten del punto A y
si parten del punto B.
1671
A
B
1994
68. Meteorología Los meteorólogos miden la presión atmosférica
en milibares. A partir de estas observaciones elaboran mapas
climáticos en los que dibujan las curvas de igual presión atmosférica
(isobaras) (ver la figura). Son curvas de nivel de una función
Px, y que dan la presión en cualquier punto. Dibujar los
gradientes de las isobaras en los puntos A, B y C. Aunque no se
conocen las magnitudes de los gradientes, sus longitudes relativas
pueden estimarse. ¿En cuál de los tres puntos es la velocidad
del viento mayor si la velocidad del viento se incrementa
conforme el gradiente de presión aumenta?
1800
1800
CAS
b) Hallar las direcciones, sobre la placa en el punto (3, 5), en las
que no hay cambio en el calor.
c) Hallar la dirección de mayor incremento de calor en el punto
(3, 5).
72. Investigación Un equipo de oceanógrafos está elaborando un
mapa del fondo del océano para ayudar a recuperar un barco
hundido. Utilizando el sonido, desarrollan el modelo
y
D 250 30x 2 50 sen sin o
2 , x 2, 0 y 2
donde D es la profundidad en metros, y x y y son las distancias
en kilómetros.
a) Utilizar un sistema algebraico por computadora para representar
gráficamente la superficie.
b) Como la gráfica del inciso a) da la profundidad, no es un mapa
del fondo del océano. ¿Cómo podría modificarse el modelo para
que se pudiera obtener una gráfica del fondo del océano?
c) ¿Cuál es la profundidad a la que se encuentra el barco si se
localiza en las coordenadas x 1 y y 0.5?
d) Determinar la pendiente del fondo del océano en la dirección
del eje x positivo a partir del punto donde se encuentra el
barco.
e) Determinar la pendiente del fondo del océano en la dirección
del eje y positivo en el punto donde se encuentra el barco.
f ) Determinar la dirección de mayor tasa de cambio de la profundidad
a partir del punto donde se encuentra el barco.
¿Verdadero o falso? En los ejercicios 73 a 76, determinar si la
declaración es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué o
dar un ejemplo que demuestre que es falsa.
A
B
C
73. Si fx, y 1 x 2 y 2 , entonces D u f0, 0 0 para todo
vector unitario u.
74. Si fx, y x y, entonces 1 ≤ D u fx, y ≤ 1.
75. Si D u fx, y existe, entonces D u fx, y D u fx, y.
76. Si D u fx 0 , y 0 c para todo vector unitario u, entonces c 0.
77. Hallar una función f tal que
f e x cos y i e x sen sin y j z k.
Rastreador térmico En los ejercicios 69 y 70, hallar la trayectoria
de un rastreador térmico situado en el punto P de una placa
metálica con un campo de temperatura T(x, y).
Campo de temperatura
69. Tx, y 400 2x 2 y 2
70. Tx, y 100 x 2 2y 2
Punto
P10, 10
P4, 3
71. Temperatura La temperatura en el punto (x, y) de una placa
metálica se modela mediante
Tx, y 400e x2 y2
, x ≥ 0, y ≥ 0.
CAS a) Utilizar un sistema algebraico por computadora para representar
gráficamente la función de distribución de temperatura.
78. Considerar la función
f x, y 4xy
x 2 y 2, x, y 0, 0
0, x, y 0, 0
y el vector unitario u
1 i j.
2
¿Existe la derivada direccional de f en P(0, 0) en la dirección
de u? Si f (0, 0) estuviera definido en 2 en vez de 0, ¿existiría la
derivada direccional?
79. Considerar la función f x, y xy.
3
a) Demostrar que f es continua en el origen.
b) Demostrar que f x
y f y
existen en el origen, pero que la derivada
direccional en el origen en todas las demás direcciones no
existe.
CAS c) Usar un sistema algebraico por computadora para graficar f
cerca del origen a fin de verificar las respuestas de los incisos
a) y b). Explicar.