Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

744 CAPÍTULO 10 Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
EJEMPLO 3
Hallar el área de la región entre dos curvas
Hallar el área de la región común a las dos regiones limitadas por las curvas siguientes.
r 6 cos
r 2 2 cos
Circunferencia.
Cardioide.
Cardioide
Círculo:
r = −6 cos
Figura 10.55
2
3
4
3
Círculo
2
Cardioide:
r = 2 − 2 cos
0
Solución Debido a que ambas curvas son simétricas respecto al eje x, se puede trabajar
con la mitad superior del plano (o semiplano superior), como se ilustra en la figura 10.55.
La región sombreada en gris se encuentra entre la circunferencia y la recta radial
Puesto que la circunferencia tiene coordenadas 0, 2 en el polo, se puede
integrar entre 2 y 23 para obtener el área de esta región. La región sombreada en rojo
está limitada por las rectas radiales y y la cardioide. Por tanto, el área de
esta segunda región se puede encontrar por integración entre 23 y . La suma de estas
dos integrales da el área de la región común que se encuentra sobre la recta radial
23.
Región entre la circunferencia
y la recta radial
A
2 1 23
22
23
18 cos 2
2
9
9
2
3 3
4
5
2
7.85
23
2
6 cos 2 d 1 2
23
d 1 2
23
1 cos 2 d
23
Región entre la cardioide
y las rectas radiales
sen sin 2
9
2 23
2
3 sen sin 2
4 sen sin
2
2 3 2 23 3
Por último, multiplicando por 2 se concluye que el área total es 5.
23
23
23
y
2 2 cos 2 d
4 8 cos 4 cos 2 d
3 4 cos cos 2 d
23
4
.
NOTA Para verificar que el resultado obtenido en el ejemplo 3 es razonable, adviértase que el área
de la región circular es r 2 9. Por tanto, parece razonable que el área de la región que se encuentra
dentro de la circunferencia y dentro de la cardioide sea 5.
■
Para apreciar la ventaja de las coordenadas polares al encontrar el área del ejemplo 3,
considérese la integral siguiente, que da el área en coordenadas rectangulares (o cartesianas).
32
0
A
2
21 2x x 2 2x 2 dx x 2 6x dx
4
32
Emplear las funciones de integración de una herramienta de graficación para comprobar
que se obtiene la misma área encontrada en el ejemplo 3.