Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 11.5 Rectas y planos en el espacio 803
EJEMPLO 4
Hallar la recta de intersección de dos planos
Plano 2
θ
Recta de
intersección
z
Plano 1
y
Hallar el ángulo entre los dos planos dados por
x 2y z 0
Ecuación de plano 1.
2x 3y 2z 0
Ecuación de plano 2.
y hallar las ecuaciones paramétricas de su recta de intersección (ver figura 11.48).
x
Solución Los vectores normales a los planos son n 1 1, 2, 1 y n 2 2, 3, 2. Por
consiguiente, el ángulo entre los dos planos está determinado como sigue.
Figura 11.48
cos n 1 n 2
n 1 n 2
6
617
6
102
0.59409
n 1
n 2
Coseno del ángulo entre y .
53.55.
Esto implica que el ángulo entre los dos planos es
La recta de intersección de
los dos planos se puede hallar resolviendo simultáneamente las dos ecuaciones lineales
que representan a los planos. Una manera de hacer esto es multiplicar la primera ecuación
por 2 y sumar el resultado a la segunda ecuación.
x 2y z 0
2x 3y 2z 0
2x 4y 2z 0
2x 3y 2z 0
7y 4z 0
y 4z
7
Sustituyendo y 4z7 en una de las ecuaciones originales, se determina que
Finalmente, haciendo t z7, se obtienen las ecuaciones paramétricas
x z7.
x t,
y 4t,
y
z 7t
Recta de intersección.
lo cual indica que 1, 4 y 7 son los números de dirección de la recta de intersección.
Hay que observar que los números de dirección del ejemplo 4 se pueden obtener a partir
del producto vectorial de los dos vectores normales como sigue.
i j k
n 1 n 2 1 2 1
2 3 2
2 3
1
2 i 1 2
i 4j 7k
1
2 j 1 2
2
3 k
Esto significa que la recta de intersección de los dos planos es paralela al producto vectorial
de sus vectores normales.