Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 12.3 Velocidad y aceleración 853
Hasta aquí se ha tratado de hallar la velocidad y la aceleración derivando la función
de posición. En muchas aplicaciones prácticas se tiene el problema inverso, hallar la función
de posición dadas una velocidad o una aceleración. Esto se demuestra en el ejemplo
siguiente.
EJEMPLO 4
Hallar una función posición por integración
Un objeto parte del reposo del punto P(1, 2, 0) y se mueve con una aceleración
at j 2k
Vector aceleración.
donde at se mide en pies por segundo al cuadrado. Hallar la posición del objeto después
de t 2 segundos.
Solución A partir de la descripción del movimiento del objeto, se pueden deducir las
condiciones iniciales siguientes. Como el objeto parte del reposo, se tiene
v0 0.
Como el objeto parte del punto x, y, z 1, 2, 0, se tiene
r0 x0i y0j z0k
1i 2j 0k
i 2j.
Para hallar la función de posición, hay que integrar dos veces, usando cada vez una de las
condiciones iniciales para hallar la constante de integración. El vector velocidad es
vt at dt j 2k dt
tj 2tk C
Curva:
r(t) = i +
z
( )
t 2 + 2 j + t 2 k
2
donde C C 1 i C 2 j C 3 k. Haciendo t 0 y aplicando la condición inicial
se obtiene
v0 C 1 i C 2 j C 3 k 0 C 1 C 2 C 3 0.
Por tanto, la velocidad en cualquier instante t es
vt tj 2tk.
Vector velocidad.
Integrando una vez más se obtiene
v0 0,
6
C
rt vt dt tj 2tk dt
6
x
4
2
4
2
r(2)
(1, 2, 0)
t = 0
(1, 4, 4)
t = 2
El objeto tarda 2 segundos en moverse del
punto (1, 2, 0) al punto (1, 4, 4) a lo largo
de C
Figura 12.16
6
y
donde C C 4 i C 5 j C 6 k. Haciendo t 0 y aplicando la condición inicial r(0) i
2j, se tiene
r0 C 4 i C 5 j C 6 k i 2j
Por tanto, el vector posición es
rt i
t 2
t 2
2 j t 2 k C
2 2 j t 2 k.
Vector posición.
C 4 1, C 5 2, C 6 0.
La posición del objeto después de t 2 segundos está dada por r2 i 4j 4k,
como se muestra en la figura 12.16.