Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

1074 CAPÍTULO 15 Análisis vectorial
Campo de fuerzas cuadrático inverso F
Integrales de línea de campos vectoriales
Una de las aplicaciones físicas más importantes de las integrales de línea es la de hallar el
trabajo realizado sobre un objeto que se mueve en un campo de fuerzas. Por ejemplo, la
figura 15.12 muestra un campo de fuerzas cuadrático inverso similar al campo gravitatorio
del Sol. Obsérvese que la magnitud de la fuerza a lo largo de una trayectoria circular
en torno al centro es constante, mientras que la magnitud de la fuerza a lo largo de una
trayectoria parabólica varía de un punto a otro.
Para ver cómo puede utilizarse una integral de línea para hallar el trabajo realizado en
un campo de fuerzas F, considérese un objeto que se mueve a lo largo de una trayectoria
C en el campo, como se muestra en la figura 15.13. Para determinar el trabajo realizado
por la fuerza, sólo se necesita considerar aquella parte de la fuerza que actúa en la dirección
en que se mueve el objeto (o en la dirección contraria). Esto significa que en cada
punto de C, se puede considerar la proyección F T del vector fuerza F sobre el vector
unitario tangente T. En un subarco pequeño de longitud s i , el incremento de trabajo es
W i (fuerza)(distancia)
forcedistance
Fx i , y i , z i Tx i , y i , z i s i
donde x i , y i , z i es un punto en el subarco i-ésimo. Por consiguiente, el trabajo total realizado
está dado por la integral siguiente.
W Fx, y, z Tx, y, z ds
C
Vectores a lo largo de una trayectoria
parabólica en el campo de fuerzas F
Figura 15.12
z
T
F
(F • T)T
C
y
z
T tiene la
dirección
de F.
T
C
(F • T)T
y
z
(F • T)T
T
C
F
y
x
x
En cada punto en C, la fuerza en la dirección del movimiento es F TT.
Figura 15.13
x
Esta integral de línea aparece en otros contextos y es la base de la definición siguiente de
integral de línea de un campo vectorial. En la definición, obsérvese que
F T ds F rt
rt rt dt
F rt dt
F dr.
DEFINICIÓN DE LA INTEGRAL DE LÍNEA DE UN CAMPO VECTORIAL
Sea F un campo vectorial continuo definido sobre una curva suave C dada por rt,
a ≤ t ≤ b. La integral de línea de F sobre C está dada por
C
b
F dr F T ds Fxt, yt), zt rt dt.
C a