Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

838 CAPÍTULO 12 Funciones vectoriales
838 Chapter 12 Vector-Valued Functions DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL
Una función vectorial r es continua en un punto dado por t a si el límite de rt
cuando t → a existe y
DEFINITION OF CONTINUITY OF A VECTOR-VALUED FUNCTION
lím lim rt ra.
A vector-valued t→a function r is continuous at the point given by t a if the
Una limit función of rt exists vectorial as tr→es continua a and en un intervalo I si es continua en todos los
puntos
lim
del
rt
intervalo.
ra.
t→a
A vector-valued function r is continuous on an interval I if it is continuous
at De every acuerdo point con in the esta interval. definición, una función vectorial es continua en t a si y sólo si
cada una de sus funciones componentes es continua en t a.
From this definition, it follows that a vector-valued function is continuous at
tEJEMPLO a if and 5only Continuidad if each of its component de funciones functions vectoriales is continuous at t a.
Analizar la continuidad de la función vectorial
EXAMPLE 5 Continuity of Vector-Valued Functions
rt ti aj a 2 t 2 k a es una constante.
Discuss the continuity of the vector-valued function given by
cuando rtt ti 0. aj a 2 t 2 k a is a constant.
z
z
16 16
at t 0.
Solución Cuando t tiende a 0, el límite es
Solution As t approaches 0, the limit is
lím lim rt
t→0
lim lím t
t→0
i lim lím a
t→0
j lím lim a 2 t 2
t→0
k
lim rt
t→0
lim t
0i t→0
aj i
lim a
a t→0 2 k j lim a 2 t 2
t→0
k
0i aj a 2 k
aj 2 k.
aj a 2 k.
Because
Como
a = −4
a = −4
14
12
10
14
12
10
a = 4
a = 4
r0 0i aj a 2 k
aj a 2 k
you se concluye can conclude que r es that continua r is continuous en t 0. Mediante at t 0. un By razonamiento similar reasoning, similar, you se concluye can
conclude que la función that the vectorial vector-valued r es continua function en todo r is valor continuous real de at t. all real-number values
of t.
■
−4
−4
2
4
x
8
6
4
2
4
x
2
8
6
4
2
y
4
a = 0
a = 0
a = −2
a = −2
a = 2
a = 2
For Para each value todo a, ofla a, curva the curve representada represented
by the por vector-valued la función vectorial function
rt) rt ti t iaj a ja 2 a 2 t 2 k
tis 2 k a parabola.
Figure es una 12.7 parábola
Figura 12.7
4
y
For each value of a, the curve represented by the vector-valued function in
Example Para 5, cada a, la curva representada por la función vectorial del ejemplo 5,
rt rt ti aj a a 2 t 2 k k a
is es a una constant. constante.
is es a una parabola. parábola. You Uno can se think puede of imaginar each parabola cada as una the de intersection estas parábolas of the como vertical la intersección plane
ydel plano a and vertical the hyperbolic y a con paraboloid el paraboloide hiperbólico
y 2 2
x 2 2
z
as shown in Figure 12.7.
como se muestra en la figura 12.7.
TECHNOLOGY Almost any type of three-dimensional sketch is difficult to do by
hand, TECNOLOGÍA but sketching Casi curves cualquier in space tipo is especially de dibujo difficult. tridimensional The problem es difícil is in trying hacerlo a
to mano, create pero the trazar illusion curvas of en three el espacio dimensions. es especialmente Graphing difícil. utilities El use problema a variety consiste of en
techniques crear la impresión to add “three-dimensionality” de tres dimensiones. Las to graphs herramientas of space de curves: graficación one way usan is diversas to
show técnicas the para curve dar on la a “impresión surface, as de in tres Figure dimensiones” 12.7. en gráficas de curvas en el espacio:
una manera es mostrar la curva en una superficie, como en la figura 12.7.