Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 15.2 Integrales de línea 1075
EJEMPLO 6
Trabajo realizado por una fuerza
z
(−1, 0, 3 π)
Hallar el trabajo realizado por el campo de fuerzas
3π
Fx, y, z 1 2 xi 1 2 yj 1 4 k
Campo de fuerzas F.
sobre una partícula que se mueve a lo largo de la hélice dada por
−2
−1
π
−1
−2
rt cos ti sen sin tj tk
Curva C en el espacio.
desde el punto 1, 0, 0 hasta el punto 1, 0, 3, como se muestra en la figura 15.14.
x
(1, 0, 0)
2
1
2
y
Solución
Como
rt xti ytj ztk
Figura 15.14
cos ti sen sin tj tk
se sigue que xt cos t, yt sen sin t, t y zt t. Por tanto, el campo de fuerzas puede
expresarse como
Fxt, yt, zt 1 2 cos ti 1 sen
2 sin tj 1 4 k.
Para hallar el trabajo realizado por el campo de fuerzas al moverse la partícula a lo largo
de la curva C, se utiliza el hecho de que
rt sin senti cos tj k
y se escribe lo siguiente.
z
W C
F dr
b
a
0
3
3
3
1 4 t 3
3
4
Fxt, yt, zt rt dt
1
0 2 cos ti 1 sen
2 sin tj 1 4 k sin senti cos tj k dt
1
0 2 sin t cos t 1 2 sin sen t cos t 4 1 dt
1
4 dt
0
sen
x
Figura 15.15
Generado con Mathematica
y
NOTA En el ejemplo 6, nótese que las componentes x y y del campo de fuerzas acaban no contribuyendo
en nada al trabajo total. Esto se debe a que en este ejemplo particular la componente z del
campo de fuerzas es la única parte de la fuerza que actúa en la misma dirección (o en dirección opuesta)
en la que se mueve la partícula (ver la figura 15.15).
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TECNOLOGÍA La gráfica, generada por computadora, del campo de fuerzas del
ejemplo 6 mostrado en la figura 15.15 indica que todo vector en los puntos del campo
de fuerzas apunta hacia el eje z.