Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 10.4 Coordenadas polares y gráficas polares 733
π
2
Gráficas polares
Una manera de trazar la gráfica de una ecuación polar consiste en transformarla a coordenadas
rectangulares para luego trazar la gráfica de la ecuación rectangular.
π
1 2 3
0
EJEMPLO 3
Trazado de ecuaciones polares
3π
2
a) Círculo: r 2
π
2
π 3π
2
b) Recta radial:
π
2
π 3π
2
−9 9
6
−6
Espiral de Arquímedes
Figura 10.42
1 2 3 0
1 2 3 0
c) Recta vertical: r sec
Figura 10.41
3
Describir la gráfica de cada ecuación polar. Confirmar cada descripción transformando la
ecuación a ecuación rectangular.
a) r 2 b) c) r sec
3
Solución
a) La gráfica de la ecuación polar r 2 consta de todos los puntos que se encuentran a
dos unidades del polo. En otras palabras, esta gráfica es la circunferencia que tiene su
centro en el origen y radio 2. (Ver la figura 10.41a.) Esto se puede confirmar utilizando
la relación r 2 x 2 y 2 para obtener la ecuación rectangular
x 2 y 2 2 2 .
Ecuación rectangular.
b) La gráfica de la ecuación polar consta de todos los puntos sobre la semirrecta
que forma un ángulo de 3 con el semieje x positivo. (Ver la figura 10.41b.) Para
confirmar esto, se puede utilizar la relación tan yx para obtener la ecuación rectangular
y 3 x.
Ecuación rectangular.
c) La gráfica de la ecuación polar r sec no resulta evidente por inspección simple, por
lo que hay que empezar por pasarla a la forma rectangular mediante la relación
r cos x.
r sec
r cos 1
x 1
3
Ecuación polar.
Ecuación rectangular.
Por la ecuación rectangular se puede ver que la gráfica es una recta vertical. (Ver la
figura 10.41c.)
TECNOLOGÍA Dibujar a mano las gráficas de ecuaciones polares complicadas
puede ser tedioso. Sin embargo, con el empleo de la tecnología, la tarea no es difícil. Si
la herramienta de graficación que se emplea cuenta con modo polar, usarlo para trazar
la gráfica de las ecuaciones de la serie de ejercicios. Si la herramienta de graficación no
cuenta con modo polar, pero sí con modo paramétrico, se puede trazar la gráfica de
r f expresando la ecuación como
x f cos
y f sen sin .
Por ejemplo, la gráfica de r 1 2 que se muestra en la figura 10.42 se generó con una
herramienta de graficación en modo paramétrico. La gráfica de la ecuación se obtuvo
usando las ecuaciones paramétricas
x 1 cos
2
y 1 sen sin
2
con valores de que van desde hasta 4. Esta curva es de la forma r a y se
denomina espiral de Arquímedes.
4