Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

1078 CAPÍTULO 15 Análisis vectorial
En curvas representadas por y gx, a ≤ x ≤ b, se puede hacer x t y obtener
la forma paramétrica
x t y y gt, a ≤ t ≤ b.
Como en esta forma es dx dt, se tiene la opción de evaluar la integral de línea en la variable
x o en la variable t. Esto se muestra en el ejemplo 9.
EJEMPLO 9
Evaluación de una integral de línea en forma diferencial
y
Evaluar
4
C: y = 4x − x 2
C
y dx x 2 dy
(1, 3)
3
2
1
1
Figura 15.18
2
3
(4, 0)
4
x
3,
donde C es el arco parabólico dado por y 4x x 2 desde 4, 0 a 1, como se muestra
y 4x x 2 dy 4 2x dx.
en la figura 15.18.
Solución En lugar de pasar al parámetro t, se puede simplemente conservar la variable x
y escribir
Entonces, en la dirección de 4, 0 a 1, 3, la integral de línea es
1
y dx x 2 dy 4x x 2 dx x 2 4 2x dx
C
4
4
1
4x 3x 2 2x 3 dx
2x2 x 3 x4
2 1 4
69 2 .
Ver el ejemplo 7.
EXPLORACIÓN
Hallar el área de una superficie lateral La figura muestra un pedazo de hojalata
cortado de un cilindro circular. La base del cilindro circular se representa por
x 2 y 2 9. Para todo punto x, y de la base, la altura del objeto está dada por
x
f x, y 1 cos
4 .
Explicar cómo utilizar una integral de línea para hallar el área de la superficie del
pedazo de hojalata.
z
2
1
−2
−1
1 + cos πx
4
x
3
x 2 + y 2 = 9
3
y
(x, y)