Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

1120 CAPÍTULO 15 Análisis vectorial
EJEMPLO 6
Hallar el flujo de un campo cuadrático inverso
R: x 2 + y 2 ≤ a 2
S: x 2 + y 2 + z 2 = a 2
z
N
a
N
a
a
N
y
x
N
Figura 15.53
Hallar el flujo sobre la esfera S dada por
Esfera S.
donde F es un campo cuadrático inverso dado por
Campo cuadrático inverso F.
y r xi yj zk. Supóngase que S está orientada hacia afuera, como se muestra en la
figura 15.53.
Solución
La esfera está dada por
donde 0 ≤ u ≤ y 0 ≤ v ≤ 2. Las derivadas parciales de r son
y
x 2 y 2 z 2 a 2
Fx, y, z kq r
r 2 r kqr
r 3
ru, v xu, vi yu, vj zu, vk
a sen sin u cos vi a sen sin u sen sin vj a cos uk
r u u, v a cos u cos v i a cos u sen sin vj a sen sin uk
r v u, v a sen sin u sen sin vi a sen sin u cos vj
lo cual implica que el vector normal r es
u r v
i
j
k
r u r v a cos u cos v a cos u sen sin v a sen sin u
a sen sin u sen sin v a sen sin u cos v 0
a 2 sin sen 2 u cos vi sen sin 2 u sen sin vj sen sin u cos uk.
Ahora, usando
Fx, y, z kqr
r 3
xi yj zk
kq
xi yj zk 3
kq
a3 a sen sin u cos vi a sen sin u sen sin vj a cos uk
se sigue que
F r u r v kq
a3 a sen sin u cos vi a sen sin u sen sin vj a cos uk
a 2 sin sen 2 u cos vi sen sin 2 u sen sin vj sen sin u cos uk
kqsin sen 3 u cos 2 v sen sin 3 u sen sin 2 v sen sin u cos 2 u
kq sen sin u.
Por último, el flujo sobre la esfera S está dado por
S F N dS D kq sen sin u dA
sen
2
0 0
4kq.
kq sin u du dv